VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức:
A CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Ngoài các tính chất của bất đẳng thức được nêu ở §11, ta còn sử dụng các tính chất sau: 1. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. 4! Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b, c < d ⇒ a − c > b − d. 3. Tính chất đơn điệu của phép nhân 1 Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương: a > b, c > 0 ⇒ a · c > b · c. 2 Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức: a > b, c < 0 ⇒ a · c < b · c. 4. Nhân hai vế của bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a > b ≥ 0, c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd. 5. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: a > b > 0 ⇒ a n > bn; a > b ⇔ a n > bn với n lẻ; |a| > |b| ⇔ a n > bn với n chẵn. 6. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương: Nếu m > n > 0 thì a > 1 ⇒ a m > an; a = 1 ⇒ a m = a n; 0 < a < 1 ⇒ a m < an.
7. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều của bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: a > b, a · b > 0 ⇒ 1 a < 1 b (xem bài 325a). 4! Ngoài các bất đẳng thức chặt, chẳng hạn a > b, ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt, chẳng hạn a ≥ b (tức là a > b hoặc a = b). Trong các tính chất trên, nhiều dấu > (hoặc <) có thể thay bởi dấu ≥ (hoặc ≤). B CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC 1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a 2 ≥ 0; −a 2 ≤ 0, cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên qua đến giá trị tuyệt đối: |a| ≥ 0. Xãy ra đẳng thức khi a = 0; |a| ≥ a. Xãy ra đẳng thức khi a ≥ 0; |a + b| ≤ |a| + |b|. Xãy ra đẳng thức khi ab ≥ 0; |a − b| ≥ |a| − |b|. Xãy ra đẳng thức khi ab > 0 và |a| > |b| (các điều kiện này còn có thể diễn đạt là a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ b ≤ 0), Chứng minh bất đẳng thức |a + b| ≤ |a| + |b| như sau: |a + b| ≤ |a| + |b| (1) ⇔ a 2 + 2ab + b 2 ≤ a 2 + 2 |ab| + b 2 (vì hai vế của (1) không âm) ⇔ ab ≤ |ab| (2) Bất đẳng thức (2) đúng, vậy (1) là đúng. Chứng minh bất đẳng thức |a − b| ≥ |a| − |b| (3) như sau: Nếu |a| < |b| thì (3) hiển nhiên đúng.
Nếu |a| ≥ |b| thì (3) tương đương với: |a − b| 2 ≥ (|a| − |b|) 2 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ a 2 − 2ab + b 2 ⇔ |ab| ≥ ab (4) Bất đẳng thức (4) đúng, vậy (3) đúng. 2. Cũng cần nhớ thêm một số hẳng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn: a 2 + b 2 ≥ 2ab; a + b 2 ã2 hay (a + b) 2 ≥ 4ab (bất đẳng thức Cô - si); 1 a + 1 b ≥ 4 a + b với a, b > 0 (ví dụ 77); a b + b a ≥ 2 với a, b < 0 (bài 325). (a 2 + b 2) (x 2 + y 2) ≥ (ax + by) 2 (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, xem bài 324). C CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Dùng định nghĩa Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A − B và chứng minh rằng A − B là số dương. VÍ DỤ 88. Chứng minh rằng (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) ≥ −1. LỜI GIẢI. Xét hiệu (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) − (−1) = (x 2 − 5x + 4)(x 2 − 5x + 6) + 1. Đặt x 2 − 5x + 5 = y, biểu thức trên bằng (y − 1)(y + 1) + 1 = y 2 ≥ 0. Vậy (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) ≥ −1. 2. Dùng các phép biến đổi tương đương VÍ DỤ 89. Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
Chứng minh rằng 1 + 1 a 1 + 1 b ≥ 9. LỜI GIẢI. Ta có 1 + 1 a 1 + 1 b ≥ 9 (1) ⇔ a + 1 a · b + 1 b ≥ 9 ⇔ ab + a + b + 1 ≥ 9ab (vì ab > 0) ⇔ a + b + 1 ≥ 8ab ⇔ 2 ≥ 8ab (vì a + b = 1) ⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ (a + b) 2 ≥ 4ab (vì a + b = 1) ⇔ (a − b) 2 ≥ 0. (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b. Cách giải khác 1 + 1 a 1 + 1 b = 1 + a + b a 1 + a + b b = 2 + b a (2 + a b). Thực hiện phép nhân và chú ý rằng a b + b a ≥ 2 do a > 0, b > 0. 4! Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, cần chú ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn: a 2 > b2 ⇔ a > b với a, b > 0; m > n ⇔ a m > an với m, n nguyên dương, a > 1. Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương. 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức VÍ DỤ 90. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a 4 + b 4 > 1 8.
LỜI GIẢI. Ta có a + b > 1 > 0. (1) Bình phương hai vế : (a + b) 2 > 1 ⇒ a 2 + 2ab + b 2 > 1 (2) Mặt khác (a − b) 2 ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0. (3) Cộng từng vế của (2) và (3): 2(a 2 + b 2) > 1 ⇒ a 2 + b 2 > 1 2 (4) Bình phương hai vế của (4): a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 > 1 4 (5) Mặt khác a 2 − b 2 2 ≥ 0 ⇒ a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 ≥ 0 (6) Cộng từng vế của (5) và (6): 2 a 4 + b 4 > 1 4 ⇒ a 4 + b 4 > 1 8. VÍ DỤ 91. Chứng miinh bất đẳng thức a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ c b + b a + a c. LỜI GIẢI. Áp dụng bất đẳng thức x 2 + y 2 ≥ 2xy (xảy ra đẳng thức khi x = y), ta có: a 2 b 2 + b 2 c 2 ≥ 2 · a b · b c = 2 · a c. Tương tự b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2 · a a c 2 a 2 + a 2 b 2 ≥ 2 · c b Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên : 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2 a c + b a + c b ⇒ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a c + b a + c b. VÍ DỤ 92. Chứng minh các bất đẳng thức với a, b, c là các số dương: (a + b + c) 1 a + 1 b + 1 c a) ≥ 9; a b + c + b c + a + c a + b b) ≥ 1,5. LỜI GIẢI. 1 Ta có A = (a + b + c) 1 a + 1 b + 1 c = 1 + a b + a c + b a + 1 + b c + c a + c b + 1 = 3 + a b + b a + a c + c a + b c + c b Để chứng minh x y + y x ≥ 2 với x, y dương (bài 325).
Do đó A ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Vậy A ≥ 9. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. 2 Áp dụng bất đẳng thức ở câu a: (x + y + z) 1 x + 1 y + 1 z ≥ 9 trong đó x, y, z > 0. Với x = b + c, y = a + c, z = a + b ta được: 2 (a + b + c) 1 b + c + 1 a + c + 1 a + b ≥ 9 ⇒ (a + b + c) 1 b + c + 1 a + c + 1 a + b ≥ 4,5 ⇒ a + b + c b + c + a + b + c a + c + a + b + c a + b ≥ 4,5 ⇒ a b + c + b a + c + c a + b ≥ 1,5. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. VÍ DỤ 93. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 1 a + b − c + 1 b + c − a + 1 c + a − b ≥ 1 a + 1 b + 1 c. LỜI GIẢI. Xét 1 a + b − c + 1 b + c − a và chú ý rằng các mẫu đều dương, áp dụng bất thức 1 x + 1 y ≥ 4 x + y với x, y > 0 (ví dụ 77), ta được: 1 a + b − c + 1 b + c − a ≥ 4 2b = 2 b. Tương tự 1 b + c − a + 1 c + a − b ≥ 2 c. 1 c + a − b + 1 a + b − c ≥ 2 a. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta được điều phải chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi a = b = c.