VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức. Giải phương trình vừa nhận được. Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thỏa mãn điều kiện xác định. B CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Giải phương trình: x − 1 x − 2 + x + 3 x − 4 = 2 (x − 2)(4 − x). (1) LỜI GIẢI. ĐKXĐ của phương trình là x khác 2, x khác 4. Biến đổi phương trình (1): (x − 1)(x − 4) + (x + 3)(x − 2) = −2. Thu gọn phương trình, ta được 2x(x − 2) = 0. (2) Nghiệm của (2) là x1 = 0, x2 = 2. Trong đó, x1 = 0 thỏa mãn ĐKXĐ, x2 = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ. Kết luận: S = {0}. VÍ DỤ 2. Giải phương trình với các tham số a, b: 1 a + 1 b + 1 x = 1 a + b + x. (1) LỜI GIẢI. ĐKXĐ của phương trình là: a khác 0, b khác 0, x khác 0, x khác −a − b. Biến đổi phương trình (1): (1) ⇔ 1 a + b + x − 1 x = a + b ab ⇔ a + b −x(a + b + x) = a + b ab. Nếu a + b = 0 thì (1) có vô số nghiệm: x bất kỳ khác 0. Nếu a + b khác 0 thì −x(a + b + x) = ab ⇔ ab + ax + bx + x 2 = 0 ⇔ (x + z)(x + b) = 0 ⇔ ” x = −a x = −b Để −a thỏa mãn ĐKXĐ, ta phải có: (− a khác 0 − a khác −a − b ⇔ (a khác 0 b khác 0. Các điều kiện này đã có. Để −b thỏa mãn ĐKXĐ, tương tự ta phải có: a khác 0, b khác 0.
Kết luận: Nếu a khác 0, b khác 0, a + b = 0 thì (1) có vô số nghiệm: x bất kỳ khác 0. Nếu a khác 0, b khác 0, a + b khác 0 thì (1) có nghiệm: x = −a và x = −b. VÍ DỤ 3. Giải phương trình: x + a x + 3 + x − 3 x − a = 2. (1) trong đó a là hằng số. LỜI GIẢI. ĐKXĐ của phương trình là x khác −3, x khác a. Biến đổi phương trình, ta được 2(a − 3)x = (a − 3)2. (2) Nếu a khác 3 thì x = a − 3 2. Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho nếu a − 3 2 khác −3 (3) a − 3 2 khác a (4) Giải điều kiện (3), ta được a khác −3. Giải điều kiện (4), ta cũng được a khác −3. Vậy nếu a khác −3 thì x = a − 3 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Nếu a = 3 thì (2) có dạng 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (1), tức là x khác −3 và x khác a (do a = 3 nên điều kiện này là x khác 3). Kết luận: Nếu a khác ±3 thì S = { a − 3 2 }. Nếu a = 3 thì S = {x|x khác ±3}. Nếu a = −3 thì S = ∅. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Giải các phương trình: 1 x + 2 x + 1 + 3 x − 2 = 3 x 2 − x − 2 + 1; 2 x + 6 x − 5 + x − 5 x + 6 = 2x 2 + 23x + 61 x 2 + x − 30 ; 3 6 x − 5 + x + 2 x − 8 = 18 (x − 5)(8 − x) − 1; 4 x − 4 x − 1 + x + 4 x + 1 = 2; 5 3 x + 1 − 1 x − 2 = 9 (x + 1)(2 − x) ; 6 x 2 − x x + 3 − x 2 x − 3 = 7x 2 − 3x 9 − x 2. LỜI GIẢI. 1 ĐKXĐ của phương trình là: x khác −1, x khác 2.
Biến đổi phương trình, ta được (x + 2)(x − 2) + 3(x + 1) = 3 + (x + 1)(x − 2) ⇔ 4x = 2 ⇔ x = 1 2. Vậy S = 1 2. 2 ĐKXĐ của phương trình là: x khác −6, x khác 5. Biến đổi phương trình, ta được (x + 6)2 + (x − 5)2 = 2x 2 + 23x + 61 ⇔ 2x = 23x ⇔ x = 0. Vậy S = {0}. 3 ĐKXĐ của phương trình là: x khác 8, x khác 5. Biến đổi phương trình, ta được 6(x − 8) + (x + 2)(x − 5) = −18 − (x − 5)(x − 8) ⇔ 2x 2 − 10x = 0 ⇔ ” x = 0 x = 5. Vì x = 5 bị loại nên S = {0}. 4 ĐKXĐ của phương trình là: x khác ±1. Biến đổi phương trình, ta được (x − 4)(x + 1) + (x + 4)(x − 1) = 2x 2 − 2 ⇔ − 2 = 0. Vậy S = ∅. 5 ĐKXĐ của phương trình là: x khác −1, x khác 2. Biến đổi phương trình, ta được 3(x − 2) − (x + 1) = −9 ⇔ 2x = −2 ⇔ x = −1. Vậy S = ∅. 6 ĐKXĐ của phương trình là: x khác ±3. Biến đổi phương trình, ta được (x 2 − x)(x − 3) − x 2 (x + 3) = −7x 2 + 3x ⇔ 0 = 0. Vậy phương trình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác ±3. BÀI 2. Giải các phương trình sau: 1 x + 1 x 2 + x + 1 − x − 1 x 2 − x + 1 = 3 x(x 4 + x 2 + 1); 2 x + 2 x 2 + 2x + 4 − x − 2 x 2 − 2x + 4 = 6 x(x 4 + 4x 2 + 16). LỜI GIẢI. 1 ĐKXĐ của phương trình là x khác 0. Biến đổi phương trình, ta được (x + 1)x(x 2 − x + 1) − (x − 1)x(x 2 + x + 1) = 3 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3 2. Vậy S = 3 2. 2 ĐKXĐ của phương trình: x khác 0.
Biến đổi phương trình, ta được x(x + 2)(x 2 − 2x + 4) − x(x − 2)(x 2 + 2x + 4) = 6 ⇔ 16x = 6 ⇔ x = 3 8. Vậy S = 3 8. BÀI 3. Giải phương trình sau: 1 + a 1 − x = 1 − a trong đó a là hằng số. LỜI GIẢI. ĐKXĐ của phương trình: x khác 1. Biến đổi phương trình, ta được 1 + a = (1 − a)(1 − x) ⇔ ax − x = 2a ⇔ x(a − 1) = 2a. Nếu a = 1 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a khác 1 thì x = 2a a − 1. Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho nếu: 2a a − 1 khác 1 ⇔ 2a khác a − 1 ⇔ a khác −1. Kết luận: Nếu a = ±1 thì S = ∅. Nếu a khác ±1 thì S = 2a a − 1. BÀI 4. Giải các phương trình sau: 1 x 2a + x + 2a + x 2a − x = 8a 2 x 2 − 4a 2 ; 2 2a − 3b x − 2a + 3b − 2a x − 3b = 0. trong đó a, b là các hằng số. LỜI GIẢI. 1 ĐKXĐ của phương trình là: x khác ±2a. Biến đổi phương trình, ta được x(2a − x) + (2a + x) 2 = −8a 2 ⇔ 12a 2 + 6ax = 0 ⇔ 6ax = −12a 2. Nếu a = 0 thì phương tình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác 0. Nếu a khác 0 thì x = −12a 2 6a = −2a (loại). Suy ra phương trình vô nghiệm. 2 ĐKXĐ của phương trình là: x khác 2a, x khác 3b. Biến đổi phương trình, ta được (2a − 3b)(x − 3b) − (2a − 3b)(x − 2a) = 0 ⇔ (2a − 3b)(x − 3b) = (2a − 3b)(x − 2a). Nếu 2a = 3b thì phương trình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác 2a. Nếu 2a khác 3b thì x − 3b = x − 2a ⇔ 3b = 2a. Suy ra phương trình vô nghiệm.
BÀI 5. Giải các phương trình sau: 1 x − a + 1 x − a − x − b + 1 x − b = a (x − a)(x − b) ; 2 a x + a = a − 1 x − 1 + 1 x + 1. trong đó a, b là các hằng số. LỜI GIẢI. 1 ĐKXĐ của phương trình là x khác a, x khác b. Biến đổi phương trình, ta được (x − a + 1)(x − b) − (x − b + 1)(x − a) = a ⇔ − b + a = a ⇔ b = 0. Kết luận: Nếu b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác a và 0. Nếu b khác 0 thì phương trình vô nghiệm. 2 ĐKXĐ của phương trình là x khác −a, x khác ±1. Biến đổi phương trình, ta được a(x 2 − 1) = (a − 1)(x + 1)(x + a) + (x + a)(x − 1) ⇔ a 2x + a 2 − 2x + ax − a = 0 ⇔ x(a − 1)(a + 2) = a(1 − a) ⇔ x(a − 1)(a + 2) = (a − 1)(−a). Nếu a = 1 thì phương trình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác ±1. Nếu a = −2 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a khác 1 và a khác −2 thì x(a + 2) = −a ⇔ x = −a a + 2. Để x = −a a + 2 là nghiệm của phương trình thì −a a + 2 khác 1 −a a + 2 khác −1 −a a + 2 khác −a Giải ra ta được a khác −1, a khác 0. Kết luận: Nếu a = 1 thì phương trình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác ±1. Nếu a = −2, a = −1 hoặc a = 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a khác 1, a khác −2, a khác −1, a khác 0 thì S = −a a + 2. BÀI 6. Giải các phương trình sau: 1 1 a + b − x = 1 a + 1 b − 1 x ; 2 2 a(b − x) − 2 b(b − x) = 1 a(c − x) − 1 b(c − x). trong đó a, b, c là các hằng số, a khác 0, b khác 0.