Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b) là một bất đẳng thức. Để chứng minh bất đẳng thức a > b, ta thường xét hiệu a − b và chứng minh hiệu đó là số dương. Các cách khác chứng minh bất đẳng thức được nêu trong chuyên đề Bất đẳng thức. 2. Một số tính chất Tính chất 1. Tính bắc cầu: a > b; b > c ⇒ a > c. Tính chất 2. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a > b ⇒ a + c > b + c. Tính chất 3. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a > b; c > 0 ⇒ ac > bc a > b; c < 0 ⇒ ac < bc. Các tính chất khác được nêu trong chuyên đề Bất đẳng thức. B MỘT SỐ VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Chứng minh các bất đẳng thức: x 2 + y 2 ≥ (x + y) 2 2 ≥ 2xy. LỜI GIẢI. Xét hiệu x 2 + y 2 − (x + y) 2 2 = 2x 2 + 2y 2 − x 2 − 2xy − y 2 2 = x 2 − 2xy + y 2 2 = (x − y) 2 2 ≥ 0. Vậy x 2 + y 2 ≥ (x + y) 2 2. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y. Xét hiệu: (x + y) 2 2 − 2xy = x 2 + 2xy + y 2 − 4xy 2 = (x − y) 2 2 ≥ 0. Vậy (x + y) 2 2 ≥ 2xy. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y. Nhận xét. Bất đẳng thức x 2 + y 2 ≥ (x + y) 2 2 cho liên hệ giữa tổng bình phương của hai số x, y và bình phương của tổng hai số đó. Bất đẳng thức (x + y) 2 2 ≥ 2xy hay x + y 2 2 ≥ xy cho liên hệ giữa tổng hai số x, y và tích của hai số đó. Với x, y không âm, bất đẳng thức này được viết dưới dạng x + y 2 ≥ (trung bình công hai số lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng), đó là bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm. VÍ DỤ 2. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 x + 1 x ≥ 2 với x > 0; 2 1 a + 1 b ≥ 4 a + b với a > 0, b > 0.
LỜI GIẢI. 1 Xét hiệu: x + 1 x − 2 = x 2 + 1 − 2x 2 = (x − 1)2 2 ≥ 0, vì (x − 1)2 ≥ 0, x > 0. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 1. 2 Xét hiệu: 1 a + 1 b − 4 a + b = b(a + b) + a(a + b) − 4ab ab(a + b) = a 2 − 2ab + b 2 ab(a + b) = (a − b) 2 ab(a + b) ≥ 0, vì a, b > 0. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b. Nhận xét. Bất đẳng thức x + 1 x ≥ 2 (với x > 0) cho liên hệ giữa một số dương với nghịch đảo của nó. Bất đẳng thức 1 a + 1 b ≥ 4 a + b với a > 0, b > 0 cho liên hệ giữa tổng các nghịch đảo của hai số dương và nghịch đảo của tổng hai số đó. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Chứng minh các bất đẳng thức: 4x a) 2 + 4x + 5 > 0; x b) 2 − x + 1 > 0; x 2 + ab + b c) 2 ≥ 0. LỜI GIẢI. 1 4x 2 + 4x + 5 = (2x + 1)2 + 4 > 0. 2 x 2 − x + 1 = x − 1 2 + 3 4 > 0. 3 a 2 + ab + b 2 = a + b 2 + 3b 2 4 ≥ 0. BÀI 2. Chứng minh bất đẳng thức x − x 2 + 1 x − x 2 − 1 < 1. LỜI GIẢI. Xét hiệu x − x 2 + 1 x − x 2 − 1 − 1 = −2 x 2 − x + 1 < 0, (vì x 2 − x + 1 = x − 1 2 + 3 4 > 0). Do đó x − x 2 + 1 x − x 2 − 1 < 1. BÀI 3. Rút gọn rồi chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của x: x 4 + x 3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1. LỜI GIẢI. Ta có x 4 + x 3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1 = (x + 1)2 (x 2 − x + 1) (x 2 + 1)(x 2 − x + 1) = (x + 1)2 x 2 + 1 ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = −1. BÀI 4. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) với a, b > 0; 2 a 4 + b 4 ≥ ab (a 2 + b 2). LỜI GIẢI. 1 Xét hiệu a 3 + b 3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b) 2 ≥ 0 (do a, b > 0). Do đó a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) với a, b > 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 Xét hiệu a 4 + b 4 − ab(a 2 + b 2) = a 3 (a − b) − b 3 (a − b) = (a − b) 2 (a 2 + ab + b 2) ≥ 0. Do đó a 4 + b 4 ≥ ab (a 2 + b 2). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
BÀI 5. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 (a 2 + b 2) (x 2 + y 2) ≥ (ax + by) 2 (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai cặp số a, b và x, y). 2 (a 2 + b 2 + c 2) (x 2 + y 2 + z 2) ≥ (ax + by + cz) 2 (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai bộ ba số số a, b, c và x, y, z). LỜI GIẢI. 1 Ta có a 2 + b 2 x 2 + y 2 − (ax + by) 2 = a 2x 2 + a 2 y 2 + b 2x 2 + b 2 y 2 − a 2x 2 − 2abxy − b 2 y 2 = (ay − bx) 2 ≥ 0. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi ay = bx. 2 Ta có a 2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 ≥ (ax + by + cz) 2 = (ay − bx) 2 + (az − cx) 2 + (bz − cy) 2 ≥ 0. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi ay = bx, az = cx, bz = cy. BÀI 6. Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng Nếu a > b thì 1 a < 1 b a) ; a b + b a b) ≥ 2. LỜI GIẢI. 1 Ta có 1 a − 1 b = b − a ab < 0 (vì b − a < 0, ab > 0). Do đó 1 a < 1 b. 2 Ta có a b + b a − 2 = a 2 + b 2 − 2ab ab = (a − b) 2 ab ≥ 0 (vì ab > 0). Do đó a b + b a ≥ 2 với ab > 0. BÀI 7. Gọi 2 1 a + 1 b là trung bình điều hòa của a và b. Chứng minh rằng trung bình điều hòa của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy. LỜI GIẢI. Ta có a + b 2 − 2 1 a + 1 b = a + b 2 − 2ab a + b = (a + b) 2 − 4ab 2(a + b) = (a − b) 2 2(a + b) ≥ 0 (vì a, b > 0). Do đó 2 1 a + 1 b ≤ a + b 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
BÀI 8. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 2 (a 2 + b 2) ≥ (a + b) 2 ; 2 3 (a 2 + b 2 + c 2) ≥ (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca). LỜI GIẢI. 1 Ta có 2 a 2 + b 2 − (a + b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 ≥ 0. Do đó 2 (a 2 + b 2) ≥ (a + b) 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 Ta có 3 a 2 + b 2 + c 2 − (a + b + c) 2 = 3 a 2 + b 2 + c 2 − a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ 0 ⇒ 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c) 2. (1) Ta có (a + b + c) 2 − 3(ab + bc + ca) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca − 3(ab + bc + ca) = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ 0 ⇒ (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca). (2) Từ (1) và (2) ta có 3 (a 2 + b 2 + c 2) ≥ (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. BÀI 9. Chứng minh các bất đẳng thức: a 2 + b 2 2 ≥ a + b 2 a) ; a 4 + b 4 2 ≥ a + b 2 ã4 b) ; a 2 + b 2 + c 2 3 ≥ a + b + c 3 c). LỜI GIẢI. 1 Ta có a 2 + b 2 2 − a + b 2 = 2(a 2 + b 2) − (a + b) 2 4 = (a − b) 2 4 ≥ 0. Do đó a 2 + b 2 2 ≥ a + b 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 Áp dụng câu a) hai lần ta có a 4 + b 4 2 ≥ a 2 + b 2 2 ≥ a + b 2 ã4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 3 Ta có a 2 + b 2 + c 2 3 − a + b + c 3 = 3(a 2 + b 2 + c 2) − (a + b + c) 2 9 = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 9 ≥ 0. Do đó a 2 + b 2 + c 2 3 ≥ a + b + c 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.