Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức:
A GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1. Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói M là giá trị lớn nhất(GTLN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: – Với mọi x, y,… để f(x, y…) xác định thì f(x, y…) ≤ M (M là hằng số) (1) – Tồn tại x0, y0,… sao cho f(x0, y0…) = M (2) 2. Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: – Với mọi x, y,… để f(x, y…) xác định thì f(x, y…) ≥ m (m là hằng số) (1’) – Tồn tại x0, y0,… sao cho f(x0, y0…) = m (2’) 3. Chú ý rằng nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Chẳng hạn, xét biểu thức A = (x − 1)2 + (x − 3)2. Mặc dù ta có A ≥ 0, nhưng chưa thể kết luận được min A = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. VÍ DỤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x − 1)2 + (x − 3)2. LỜI GIẢI. Ta có A = x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 2(x 2 − 4x + 5) = 2(x − 2)2 + 2 ≥ 2. A = 2 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. Vậy min A = 2 khi và chỉ khi x = 2. B TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN 1. Tam thức bậc hai VÍ DỤ 2. 1 Tìm GTNN của A = 2x 2 − 8x + 1. 2 Tìm GTLN của B = −5x 2 − 4x + 1. 3 Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c.
Tìm GTNN của P nếu a > 0. Tìm GTLN của P nếu a < 0. LỜI GIẢI. 1 A = 2x 2 − 8x + 1 = 2(x 2 − 4x + 4) − 7 = 2(x − 2)2 − 7 ≥ −7. min A = −7 khi và chỉ khỉ x = 2. 2 B = −5x 2 − 4x + 1 = −5 x 2 + 4 5 x + 4 25ã + 9 5 = −5 x + 2 5 + 9 5 ≤ 9 5. max B = 9 5 khi và chỉ khi x = − 2 5. 3 P = ax2 + bx + c = a x 2 + b a x ã + c = a x + b 2a + c − b 2 4a. Đặt c − b 2 4a = k. Do x + b 2a ≥ 0 nên Nếu a > 0 thì a x + b 2a ≥ 0, do đó P ≥ k; min P = k khi và chỉ khi x = − b 2a. Nếu a < 0 thì a x + b 2a ≤ 0, do đó P ≤ k; max P = k khi và chỉ khi x = − b 2a. 2. Đa thức bậc cao hơn hai VÍ DỤ 3. Tìm GTNN của A = x(x − 3)(x − 4)(x − 7). LỜI GIẢI. A = (x 2 − 7x)(x 2 − 7x + 12). Đặt x 2 − 7x + 6 = y thì A = (y − 6)(y + 6) = y 2 − 36 ≥ −36. min A = −36 ⇔ y = 0 ⇔ x 2 − 7x + 6 = 0 ⇔ x = 1 x = 6. 3. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai VÍ DỤ 4. Tìm GTNN của A = 2 6x − 5 − 9x 2. LỜI GIẢI. A = −2 9x 2 − 6x + 5 = −2 (3x − 1)2 + 4. Ta thấy (3x − 1)2 ≥ 0 nên (3x − 1)2 + 4 ≥ 4. Để ý tính chất a ≥ b thì 1 a ≤ 1 b với a và b cùng dấu. Từ đó ta có 1 (3x − 1)2 + 4 ≤ 1 4 ⇒ −2 (3x − 1)2 + 4 ≥ −2 4 ⇒ A ≥ − 1 2. min A = − 1 2 ⇔ 3x − 1 = 0 ⇔ x = 1 3. 4. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức VÍ DỤ 5. Tìm GTNN của A = 3x 2 − 8x + 6 x 2 − 2x + 1. LỜI GIẢI. Cách 1. Đặt x − 1 = y thì x = y + 1. Ta có A = 3(y + 1)2 − 8(y + 1) + 6 y 2 = 3y 2 − 2y + 1 y 2 = 3 − 2 y + 1 y 2. Lại đặt 1 y = z thì A = 3 − 2z + z 2 = (z − 1)2 + 2 ≥ 2. min A = 2 ⇔ z = 1 ⇔ y = 1 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2. Cách 2. Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức không âm A = (2x 2 − 4x + 2) + (x 2 − 4x + 4) x 2 − 2x + 1 = 2 + (x − 2)2 (x − 1)2 ≥ 2. min A = 2 khi và chỉ khi x = 2. 5. Các phân thức dạng khác VÍ DỤ 6. Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4x x 2 + 1. LỜI GIẢI. Để tìm GTNN, viết A dưới dạng A = x 2 − 4x + 4 − x 2 − 1 x 2 + 1 = (x − 2)2 x 2 + 1 − 1 ≥ −1. min A = −1 khi và chỉ khi x = 2. Để tìm GTLN, viết A dưới dạng A = 4x 2 + 4 − 4x 2 − 4x − 1 x 2 + 1 = 4 − (2x + 1)2 x 2 + 1 ≤ 4. max A = 4 khi và chỉ khi x = − 1 2. C TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN VÍ DỤ 7. Tìm GTNN của A = x 3 + y 3 + xy biết rằng x + y = 1. LỜI GIẢI. Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A: A = (x + y)(x 2 − xy + y 2 ) + xy = x 2 − xy + y 2 + xy = x 2 + y 2. Đến đây có nhiều cách giải Cách 1. Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai theo x. Thay y = 1 − x vào biểu thức A A = x 2 + (1 − x) 2 = 2(x 2 − x) + 1 = 2 x − 1 2 + 1 2 ≥ 1 2. min A = 1 2 khi và chỉ khi x = 1 2; y = 1 2. Cách 2. Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A x + y = 1 ⇒ x 2 + 2xy + y 2 = 1 (1) Mặt khác (x − y) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 − 2xy + y 2 ≥ 0 (2) Cộng (1) và (2), ta được 2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 1 2. min A = 1 2 khi và chỉ khi x = y = 1 2. Cách 3. Sử dụng điều kiện đã cho để đưa vào một biến mới. Đặt x = 1 2 + a thì y = 1 2 − a. Biểu thị x 2 + y 2 theo a, ta được x 2 + y 2 = 1 2 + a + 1 2 − a = 1 2 + 2a 2 ≥ 1 2. min A = 1 2 ⇔ a = 0 ⇔ x = y = 1 2. VÍ DỤ 8. Cho x + y + z = 3. 1 Tìm GTNN của A = x 2 + y 2 + z 2. 2 Tìm GTLN của B = xy + yz + zx. 3 Tìm GTNN của A + B. LỜI GIẢI. Bình phương hai vế của đẳng thức x + y + z = 3, ta được x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) = 9 (1) tức là A + 2B = 9. Dễ dàng chứng minh được A ≥ B (2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z. 1 Từ (1) và (2) suy ra 3A ≥ A + 2B = 9, nên A ≥ 3. Do đó min A = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1. 4! Có thể giải câu a bằng cách đổi biến x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c rồi xét x 2 + y 2 + z 2. 2 Từ (1) và (2) suy ra 3B ≤ A+2B = 9, nên B ≤ 3. Do đó max B = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1. 4! Có thể giải câu b dựa vào câu a: Vì A + 2B = 9 nên B lớn nhất khi và chỉ khi A nhỏ nhất. 3 Ta có A + 2B = 9 mà B ≤ 3 (câu b) nên A + B ≥ 6. Do đó min(A + B) = 6 khi và chỉ khi x = y = z = 1. VÍ DỤ 9. Tìm GTNN và GTLN của 1 Biểu thức A, biết rằng A(A − 1) ≤ 2; 2 Biểu thức A = 2 − x − y − z, biết rằng (2 − x − y − z) 2 = 4 − x 2 − y 2 − z 2. LỜI GIẢI. 1 Ta sử dụng phương pháp xét dấu để tìm GTNN, GTLN của A. Ta biến đổi A(A − 1) ≤ 2 ⇔ A 2 − A − 2 ≤ 0 ⇔ (A + 1)(A − 2) ≤ 0. Lập bảng xét dấu A A + 1 A − 2 (A + 1)(A − 2) −1 2 − 0 + + − − 0 + + 0 − 0 + Do đó −1 ≤ A ≤ 2 nên min A = −1 và max A = 2. 2 Từ giả thiết ta có x + y + z = 2 − A (1) x 2 + y 2 + z 2 = 4 − A 2 (2) Ta đưa ra một bất đẳng thức trong đó chứa x + y + z và x 2 + y 2 + z 2. Ta có (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + xz). (3) Mặt khác, dễ dàng chứng minh được xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2. (4) Từ (3) và (4) suy ra (x + y + z) 2 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ); xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z. Thay các biểu thức (1), (2) vào bất đẳng thức trên, ta có (2 − A) 2 ≤ 3(4 − A 2 ) ⇔ A 2 − A − 2 ≤ 0. Giải tiếp như câu a ta được min A = −1 ⇔ ( x + y + z = 3 x = y = z ⇔ x = y = z = 1. max A = 2 ⇔ ( x + y + z = 0 x = y = z ⇔ x = y = z = 0. D CÁC CHÚ Ý KHI TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 4! Khi tìm cực trị(GTNN hay GTLN) của một biểu thức, ta có thể đổi biến. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 ta có thể đặt x − 2 = y, khi đó A = (y + 1)2 + (y − 1)2 = 2y 2 + 2 ≥ 2. Suy ra min A = 2 khi y = 0 ⇔ x = 2. 4! Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị. Chẳng hạn: −A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất. 1 B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0. C lớn nhất ⇔ C 2 lớn nhất với C > 0. VÍ DỤ 10. Tìm GTNN của A = x 4 + 1 (x 2 + 1)2. LỜI GIẢI. Chú ý rằng A > 0 nên A lớn nhất ⇔ 1 A nhỏ nhất và A nhỏ nhất ⇔ 1 A lớn nhất. Ta có 1 A = (x 2 + 1)2 x 4 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 x 4 + 1 = 1 + 2x 2 x 4 + 1. Tìm GTLN của A: Ta có 2x 2 ≥ 0, x 4 + 1 > 0 nên 2x 2 x 4 + 1 ≥ 0. Suy ra 1 A ≥ 1 + 0 = 1. min 1 A = 1 khi và chỉ khi x = 0. Do đó max A = 1 khi và chỉ khi x = 0. Tìm GTNN của A: Ta có 2x 2 ≤ x 4 + 1 (dễ chứng minh, dấu “= ”xảy ra khi và chỉ khi x 2 = 1) mà x 4 + 1 > 0 nên 2x 2 x 4 + 1 ≤ 1. Suy ra 1 A ≤ 1 + 1 = 2. max 1 A = 2 khi và chỉ khi x 2 = 1. Do đó min A = 1 2 khi và chỉ khi x = ±1. 4! 1. Cách khác tìm GTLN của A A = (x 2 + 1)2 − 2x 2 (x 2 + 1)2 = 1 − 2x 2 (x 2 + 1)2 ≤ 1. max A = 1 khi và chỉ khi x = 0. 2. Cách khác tìm GTNN của A Cách 1. Đặt 1 x 2 + 1 = y như Ví dụ 5. Cách 2. A = 2x 4 + 2 (x 2 + 1)2 = (x 2 + 1) + (x 2 − 1)2 2(x 2 + 1)2 = 1 2 + (x 2 − 1)2 2(x 2 + 1)2 ≥ 1 2. min A = 1 2 khi và chỉ khi x = ±1. 4! Khi giải toán cực trị, nhiều khi ta cần xét nhiều khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức trong các khoảng ấy để tìm GTNN, GTLN.