VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Đối xứng tâm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Đối xứng tâm:
A LÝ THUYẾT Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Điểm đối xứng của điểm O qua điểm O chính là điểm O. Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. Hình bình hành nhận giao điểm của hai đường chéo làm tâm đối xứng. VÍ DỤ 1. Một hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành khác. Chứng minh rằng các tâm của hai hình bình hành đó là trùng nhau. LỜI GIẢI. Gọi EF GH là hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình bình hành ABCD (như hình vẽ bên). Gọi O là tâm của hình bình hành EF GH, ta sẽ chứng minh O cũng là tâm của hình bình hành ABCD. Thật vậy Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Ta có OP là đường trung bình của hình thang AEGD nên OP k DG. (1) A E B O D G C F Q H P Tương tự ta có OQ là đường trung bình của hình thang CGEB nên OQ k GC. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra O, P, Q thẳng hàng.
Vì EF GH là hình bình hành nên GF k EH, GF = EH và GF C = EHA , F F C = HEA (do AD k BC). Từ đó suy ra 4AEH = 4CGF (g-c-g), do vậy CG = AE. Mà OQ = CG + BE 2 = AE + EB 2 = AB 2. Lại có AB = P Q nên OP = P Q 2, do vậy O là trung điểm của P Q. Vì P Q là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên O cũng là trung điểm của AC, BD. Do vậy O là tâm của hình bình hành ABCD. VÍ DỤ 2. Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc đoạn AD và điểm G thuộc đoạn BC. Dựng điểm F thuộc đoạn AB và điểm H thuộc đoạn CD sao cho EF GH là hình bình hành. LỜI GIẢI. +) Phân tích: Gọi O là trung điểm EG thì O là điểm xác định và O là trung điểm của F H. Vì F thuộc cạnh CD nên H sẽ nằm trên đường thẳng d là ảnh của đường thẳng CD qua phép đối xứng tâm O, do đó F là giao điểm của d và AB. +) Cách dựng: Dựng trung điểm O của đoạn EG. d A F B N O C D H M E G Hạ OM ⊥ CD tại M. Lấy đối xứng của M qua O ta được điểm N. Qua N kẻ đường thẳng d song song với CD, cắt AB tại F. Nối F O cắt CD tại H.
Vậy EF GH là hình cần dựng. +) Chứng minh: Vì 4OMH = 4ONF (g-c-g) nên OH = OF. Tứ giác EF GH có OE = OG, OH = OF nên EF GH là hình bình hành. +) Biện luận: Nếu d trùng với AB: khi đó AB k CD, O cách đều AB và CD thì bài toán có vô số nghiệm hình. Nếu d song song với AB: khi đó AB k CD, O không cách đều AB và CD thì bài toán không có nghiệm hình. Nếu d cắt AB: khi đó AB không song song với CD thì bài toán có một nghiệm hình. B BÀI TẬP BÀI 1. Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB và O là điểm tùy ý. Lấy A0 là điểm đối xứng với O qua D, B0 là điểm đối xứng với O qua E, C 0 là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh rằng các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy. LỜI GIẢI. Vì AB0 song song và bằng A0B (do cùng song song và bằng OC) nên ABA0B0 là hình bình hành, do đó AA0 cắt BB0 tại trung điểm mỗi đường. (1) Tương tự, BCB0C 0 là hình bình hành, do đó BB0 cắt CC0 tại trung điểm mỗi đường. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy (tại trung điểm mỗi đường). A F B C 0 C D B0 A0 E O BÀI 2. Cho góc xOy ‘ khác góc bẹt và M là điểm thuộc miền trong của góc.
1 Qua M dựng đường thẳng cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở A và B sao cho M là trung điểm của AB. 2 Chứng minh rằng tam giác OAB nhận được trong cách dựng trên có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các tam giác tạo bởi tia Ox, Oy và một đường thẳng bất kỳ đi qua M. LỜI GIẢI. 1 Ta có hai cách dựng như sau: Cách 1. Qua M dựng đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở D. Dựng B đối xứng với O qua D, đường thẳng BM cắt Ox tại A. Cách 2. Dựng N đối xứng với O qua M. Qua N dựng các đường thẳng song song với Oy, Ox và lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B. x y O A A0 D B B0 E M N b) Qua M, vẽ đường thẳng bất kỳ (không trùng với AB), cắt Ox, Oy lần lượt tại A0, B0. Ta sẽ chứng minh S4OAB < S4OA0B0. Thật vậy, Có duy nhất một đường thẳng đi qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm AB nên MA0, MB0 không bằng nhau (giả sử MA0 > MB0). Trên tia MA0 ta lấy điểm E sao cho MB0 = ME, khi đó S4MBB0 = S4MAE < S4MAA0. BÀI 3. Dựng tam giác biết một đỉnh, trọng tâm và hai đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại. LỜI GIẢI. Giả sử cần dựng tam giác ABC, ta biết đỉnh A, trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1, d2.
Lấy điểm B bất kỳ trên d1. Do A, G xác định nên trung điểm M của BC xác định. Vì B, C đối xứng nhau qua M nên C nằm trên đường thẳng d 0 1 là ảnh của d1 qua phép đối xứng tâm M. Do vậy C là giao điểm của d 0 1 và d2. d1 d 0 1 d2 M A G B C BÀI 4. Cho tứ giác ABCD và một điểm O nằm bên trong tứ giác. Dựng hình bình hành EF GH nhận O làm tâm đối xứng, có bốn đỉnh nằm trên bốn đường thẳng chứa cạnh của tứ giác ABCD. LỜI GIẢI. Giả sử cần dựng hình bình hành EF GH có tâm O, E AB, F AD, G CD, H BC (như hình vẽ bên). Gọi a, b lần lượt là ảnh của AB, AD qua phép đối xứng tâm O. Khi đó ta thấy G là giao điểm của a và CD, H là giao điểm của b và BC. Biện luận: +) Nếu ABCD là hình bình hành thì bài toán có vô số nghiệm hình (khi O là tâm của ABCD) hoặc không có nghiệm hình (khi O không là tâm của ABCD). b a A E B C D G F H O +) Nếu ABCD là hình thang mà không là hình bình hành thì bài toán có vô số nghiệm hình (khi O cách đều hai đáy) hoặc không có nghiệm hình (khi O không cách đều hai đáy). +) Các trường hợp còn lại thì bài toán có một nghiệm hình.