Hình bình hành

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Hình bình hành, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Hình bình hành:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Định lí 1. Trong hình bình hành: các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Định lí 2. Một tứ giác là hình bình hành nếu có một một trong các dấu hiệu sau: Các cạnh đối song song. Các cạnh đối bằng nhau. Hai cạnh đối song song và bằng nhau. Các góc đối bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mối đường. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Cho hình thang vuông ABCD (Ab = D = 90◦), ta có AB = 1 2 CD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng BMD 90◦. LỜI GIẢI. Gọi N là trung điểm của DH. (Hình 16). Ta có MN là đường trung bình của ∆HDC nên MN k DC, MN = 1 2 DC. Ta lại có AB k DC, AB = 1 2 DC, do đó AB k MN, AB = MN. Vậy ABMN là hình bình hành, suy ra AN k BM. (1) ∆ADM có DH ⊥ AM, MN ⊥ AD, suy ra AN ⊥ DM. (2) A B D C M H N Từ (1) và (2) suy ra BMD 90◦.
VÍ DỤ 2. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có Ab = 120◦, AB = 4 cm, AC = 6 cm. LỜI GIẢI. Cách 1. (Hình 17). Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm của AE. Tứ giác ABEC là hình bình hành, ABE = 180◦ − BAC = 180◦ − 120◦ = 60◦. Kẻ AH ⊥ BE. Tam giác vuông ABH có B = 60◦ nên BH = AB 2 = 4 2 = 2 cm. Suy ra HE = BE = BH = 6 − 2 = 4 cm. Trong tam giác vuông ABH ta có AH2 = AB2 − BH2 = 16 − 4 = 12. Trong tam giác vuông AHE ta có AE2 = AH2 + HE2 = 12 + 16 = 18. Do đó AE = 2√7 cm. Suy ra AM = √7 cm. A B C M H E H A K C B M Cách 2. (Hình 18). Kẻ BH ⊥ AC, MK ⊥ AC. Lần lượt tính được AH = 2 cm, HB = 2√3 cm, MK = √3 cm, HK = HC 2 = 4 cm, AK = 2 cm. Từ đó tính được AM = √7 cm. C BÀI TẬP TỰ LUẬN BÀI 1. Cho điểm D nằm bên trong tam giác đều ABC. Vẽ các tam giác đều BDE, CDF (E, F, D nằm cùng phía với BC). Chứng minh rằng AEDF là hình bình hành. LỜI GIẢI. Xét hai tam giác 4DBC = 4EBA có BC = AB DBC = ABE ( 60◦ − ABD) BD = BE A B C D E F Suy ra 4DBC = 4EBA (c.g.c) nên DC = EA. Do đó DF = EA. (1) Chứng minh tương tự có DE = F A. (2) Từ (1) và (2) suy ra AEDF là hình bình hành. BÀI 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI và BC.
Chứng minh rằng ADKE là hình bình hành. LỜI GIẢI. Kẻ DM và IN song song với BC (M, N thuộc AC). Xét 4EMD có IN k DM, I là trung điểm của DE nên suy ra N là trung điểm của ME hay ME = NE. (1) Vì DM k BC nên ADM B = Cb = AMD, do đó tam giác 4ADM cân tại A, hay AD = AM. (2) Lại có AD = EC. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra N là trung điểm của AC. Xét 4AKC có N là trung điểm của AC, IN k BC nên I là trung điểm của AK. Tứ giác ADKE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi A B I K C D M N E đường nên ADKE là hình bình hành. BÀI 3. 1 Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác gặp nhau tại một điểm. (Bài toán của Giéc-gôn (Gergonme, nhà toán học Pháp,1771-1859)) 2 Dùng định lí trên chứng tỏ rằng nếu một tứ giác các đường thẳng nối trung điểm các cạnh đối đi qua giao điểm hai đường chéo thì tứ giác đó là hình bình hành. LỜI GIẢI. 1 Gọi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA; I, K là trung điểm của BD, AC. Tứ giác EF GH có EF k GH(k AC), EF = GH( 1 2 AC) nên EF GH là hình bình hành.
Chứng minh tương tự EIGK là hình bình hành, do đó F H và IK cùng đi qua trung điểm cùng EG. A E B O D G C M H I K F 2 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và M là trung điểm của IK. Nếu EG, F H cắt nhau tại O thì theo câu a), M trùng với O, do đó I và K trùng O. Tứ giác ABCD có O là trung điểm của hai đường chéo nên là hình bình hành. BÀI 4. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE = AF = F B. Trên cạnh CD lấy điểm G, H sao cho DG = GH = HC. Gọi M, I, K, N theo thứ tự là trung điểm của AD, EG, F H, BC. Chứng minh rằng bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng và MI = IK = KN. LỜI GIẢI. Ta có IF và HN song song và bằng nhau vì cùng song song và bằng một nửa BG. Do đó tứ giác IF NH là hình bình hành. Ta lại có K là trung điểm của F H nên I, K, N thẳng hàng và K là trung điểm của IN. Chứng minh tương tự, M, I, K thẳng hàng và I là trung điểm của MK. Vậy M, I, K, N thẳng hàng và MI = IK = KN. A E F B D G H C M I K N BÀI 5. Hình bình hành ABCD có Ab = 60◦. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, CD sao cho DE = CF. Gọi K là điểm đối xứng với F qua BC. Chứng minh rằng EK song song với AB. LỜI GIẢI. A E D N B K C F Gọi N là giao điểm của ED và KC, khi đó tam giác NCD đều mà CK = DE (cùng bằn CF) nên tam giác NKE đều.
Vậy EK k AB. BÀI 6. Cho tam giác ABC có A >b 90◦. Trong góc A vẽ các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng AM vuông góc với BC. LỜI GIẢI. Vẽ hình bình hành ADKE, khi đó 4ADK = 4BAC (c.g.c) (chú ý rằng ADK = BAC vì cùng bù với góc DAE) nên Ac1 = B. Gọi H là giao điểm của AM và BC. Ta có B + BAH = Ac1 + BAH = 90◦ nên AH ⊥ BC. 1 A B E C D K M H BÀI 7. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B, ACE vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của DE. Hãy xác định dạng của tam giác BMC. LỜI GIẢI. A M N D E B C Trên tia đối của tia MB lấy MN = MB, khi đó tứ giác BDNE là hình bình hành, suy ra EN ⊥ AB và EN = AB. Ta lại có EC ⊥ AC, EC = AC. Từ đó ta có 4ENC = 4ABC (c.g.c). Suy ra NC = BC và NC ⊥ BC. Do đó tam giác BCN vuông cân, suy ra tam giác BMC vuông cân tại M. BÀI 8. Cho tam giác đều ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC ở D và E. Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc của tam giác GIB. LỜI GIẢI. Cách 1. Qua C vẽ đường thẳng song song với BD, cắt DE ở K. Ta có BDKC là hình bình hành nên B, I, K thẳng hàng. 4GDB = 4GEK (c.g.c) nên GB = GK. Suy ra 4GBK cân tại G có KBG = 120◦. Do đó các góc của tam giác GIB bằng 90◦, 60◦, 30◦. Cách 2. Vẽ H sao cho I là trung điểm của GH. Ta chứng minh được 4GBH đều.