VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép đối xứng trục, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép đối xứng trục:
Tự Luận. Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua Phép Đối Xứng Trục. Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Trong mặt phẳng Oxy với mỗi điểm M x y gọi M x y. Nếu chọn d là trục Ox, thì x x y y. Nếu chọn d là trục Oy, thì x x y y. Bài 01. Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD. Lời giải. Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác A B E, qua phép đối xứng trục đó. Ảnh phải tìm là tam giác A B E.
Bài 02. Trong mặt phẳng Ox, y cho điểm M 1 5, đường thẳng d có phương trình x y và đường tròn 2 2 C x y x y: 2 4 4 0a. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox. b. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d. Lời giải. a. Tìm ảnh của M d qua phép đối xứng trục Ox. Gọi M d và C theo thứ tự là ảnh của M d và C qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó M 1 5. Để tìm ảnh của d ta sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox. Gọi N x y là ảnh của điểm N x y qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó x x x x y y y y. Để tìm C, ta thấy rằng C có tâm J 1 2 bán kính R = 3. Gọi J là ảnh của J qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó J 1 2. Do đó C à đường tròn tâm J1 2 bán kính bằng 3. Từ đó suy ra C có phương trình: 2 2 x y 1 2 9. b. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d. Đường thẳng 1, d đi qua M vuông góc với d có phương trình. Giao của d và 1. d là M0 có tọa độ thỏa mãn hệ: 2 4 0 2 7 0 3. x y x x y y. Vậy M 2 3 Từ đó suy ra ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d là M sao cho M0 là trung điểm của MM do đó M 3 1.
Bài 03. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 1 5, B 1 2, C 6 4. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép đối xứng trục Oy biến điểm G thành điểm G có tọa độ là. Lời giải. Tọa độ trọng tâm A B C. Bài 04. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 2 3. Tọa độ điểm là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d x y là? Lời giải. Nhận xét: Đường thẳng d x y d y x 0 là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua đường phân giác y x là. Gọi M x y M x y d. Bài 05. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là. Lời giải. Cách 1: Trục Ox có phương trình y = 0. Tọa độ giao điểm A của d và Ox thỏa mãn hệ. Vì A Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành chính nó, tức A A. Vậy đường thẳng d là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox đi qua hai điểm A0 và B nên có phương trình x y 2 0.
Cách 2: Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là x x x x y y y y, thay vào d ta được x y. Bài 06. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 C x y. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn C thành đường tròn C có phương trình là. Lời giải. Cách 1: Đường tròn C có tâm I 1 2 và bán kính R 2. Ta có có phương trình 2 2 x y 1 2 4. Cách 2: Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là x x x x y y y y. Thay vào C, ta được 2 2x y 1 2 4 hay 2 2 x y 1 2 4. Bài 07. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 C x y : 1 4 1 và đường thẳng d có phương trình y x 0. Phép đối xứng trục d biến đường tròn C thành đường tròn C có phương trình là. Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục d y x : 0 là x y y x. Thay vào C, ta đươc 2 2 y x 1 4 1 hay 2 2 x y 4 1 1.
Bài 08. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn 2 2 C x y : 1 2 4 và 2 2 C x y : 3 4. Viết phương trình trục đối xứng của C và C. Lời giải. Trục đối xứng của hai đường tròn là trung trực của đoạn nối hai tâm đường tròn. Viết ra được phương trình trục đối xứng là x y 1 hay y x 1. Bài 09. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình 2y x. Hỏi parabol nào là ảnh của P qua phép đối xứng trục tung? Lời giải Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung là x x y y. Thay vào P, ta được 2y x. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol 2 P y x x : 2 3. Phép đối xứng trục Ox biến parabol thành parabol P có phương trình là. Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là x x y y.