Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép tịnh tiến

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép tịnh tiến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép tịnh tiến:
Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua Phép Tịnh Tiến Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vec tơ v a b. Với mỗi điểm M x y ta có M x y là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v. Khi đó x x a x x a MM v y y b y y b. Bài 01. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A 2 5. Tìm tọa độ điểm A là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vec-tơ v 1 2.
Lời giải: Gọi 2 1 3 5 2 3 x A x y A y. Bài 02. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M 2 3 là ảnh của điểm N 3 5 qua phép tịnh tiến theo vec-tơ v. Tìm v. Lời giải: Ta có v NM 2 3 3 5 1 8. Bài 03. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vec tơ v 1 2 hai điểm A 3 5 B 1 1 và đường thẳng d có phương trình x y 2 3 0. 1. Tìm tọa độ của A B theo thứ tự là ảnh của A B qua phép tịnh tiến theo vec tơ v.
2. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vec tơ v. 3. Tìm phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vec tơ v. Lời giải: 1. Tìm tọa độ của A B theo thứ tự là ảnh của A B qua phép tịnh tiến theo vec tơ v. Tọa độ của A là 3 1 2 5 2 7 A A x y A 2 7. Tọa độ của B là 1 1 2 1 2 3 B B x y.
2. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vec tơ v. Giả sử C C x y là tọa độ của điểm C 3 1 5 2 C C x y 4 3 C C x y C 4 3. 3. Tìm phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vec tơ v. Giả sử M x y d và M x y là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ v.
Vì M x y d x y 1 2 3 02 x y 2 0 8. Vậy d x y 2 0 8. Bài 04. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của đường thẳng d x y 2 4 0 qua phép vị tự theo vec tơ v 3 5 có phương trình là: Lời giải: Phương trình ảnh của đường thẳng d là d x y c 2 0. Ảnh của điểm A d 0 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3 5 là A d 3 9. Suy ra 2 3 9 0 3 c c.
Vậy d x y 2 3 0 Bài 05. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình 4 3 0 x y. Ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến T theo véc-tơ v 2 1 có phương trình là Lời giải: Cách 1: Gọi là ảnh của qua phép T v. Khi đó song song hoặc trùng với nên có phương trình dạng 4 0 x y c. Chọn điểm A 0 3. Gọi A x y là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc-tơ v 2 1 AA x y 3. Ta có T v A A 3 1 x y.
Mặt khác điểm A suy ra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình 4 0 x y c c 6 hay 4 6 0 x y. Ta có v x x T A A x y AA v A. Vì A nên 4 2 2 0 6 4 6 0 x y. Cách 2: Gọi M x y là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng. Gọi v x x M x y T M MM v. Thay x x 2 và y y 1 vào phương trình ta được 4 2 1 3 0 4 6 0 x y x y. Bài 06. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của đường tròn 2 2 C x y 1 3 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3 2 là đường tròn có phương trình?
Lời giải: Đường tròn C có tâm I 1 3 bán kính R 2. Gọi I x y là ảnh của I 1 3 qua phép tịnh tiến vectơ v 3 2. Ta có 1 3 2 3 2 3 2 5 x x II v I y y. Vì phép tịnh tiếp bảo toàn khoảng cách nên R R 2. Vậy ảnh của đường tròn C qua v T là đường tròn C có tâm I 2 5 bán kính R 2 nên có phương trình 2 2 x y 2 5 4. Bài 07. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình 2 2 x y x y 2 4 4 0. Tìm ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vec tơ v 2 3.
Lời giải: Đường tròn C có tâm I 1 2 bán kính 2 2 R 1 2 4 3. Giả sử v C T C. Gọi I là tâm đường tròn C 1 2 2 3 1 1 v Do đó C có phương trình 2 2 x y 1 1 9. Bài 08. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v 3 2. Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường tròn 2 2 C x y thành đường tròn C. Mệnh đề nào sau đây đúng? Lời giải: Đường tròn C có tâm I 0 1 bán kính R 1. Gọi I x y là ảnh của I 0 1 qua phép tịnh tiến vectơ v 3 2.
Ta có 0 3 3 3 1 1 2 1 x x II v I y y. Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nên R R 1. Vậy ảnh của đường tròn C qua phép v T là đường tròn C có tâm I 3 1 bán kính R nên có phương trình 2 2 C x y 3 1 1. Bài 09. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình 2 2 x y x y 4 6 5 0. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u 1 2 và v 1 1 thì đường tròn C biến thành đường tròn C có phương trình là Lời giải: Từ giả thiết suy ra C là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo a u v.
Ta có u v 2 3. Biểu thức tọa độ của a T là 2 3 x x y y thay vào C ta được 2 2 x y x y 2 3 4 2 6 3 5 0 2 2 x y 18 0. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v 2 1. Phép tịnh tiên theo vectơ v biến parabol 2 Pyx : thành parabol P. Khi đó phương trình của P là Lời giải: Biểu thức tọa độ của v T là 2 1 x x y y thay vào P ta được 2 2 y x y x x 1 2 4 3.