VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đối xứng tâm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đối xứng tâm:
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Phép đối xứng tầm. Định nghĩa. Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua O, có nghĩa là OM + OM’ = 0. Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng. Phép đối xứng qua một điểm còn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(a; b). Phép đối xứng tâm Độ biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x; y) thì: x = 2a – x, M'(x; y): y’= 2b. Công thức này gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm Đ. Tâm đối xứng của một hình Điểm 0 gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng và biến hình H thành chính nó, nghĩa là Đo(H )= H. Ví dụ: Các hình như hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đề có tâm đối xứng. Đó là giao điểm của hai đường chéo của mỗi hình. Đường tròn có một tâm đối xứng, đó là tâm của nó.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. tìm ảnh của 1 điểm, một đường qua phép đối xứng tầm. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tầm I: (A): x + 2y + 5 = 0, 1(2; -1). Có 3 cách. Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ. Cách 2: Xác định dạng A rồi dùng công thức tính khoảng cách d(A; A’) -> A’. Cách 3: Lấy bất kỳ A, B rồi tìm ảnh A’B’ A’ A’= A’B’. Có 2 cách giải. Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ . Cách 2: Tìm tâm II PE → I, R = R = (đã cho). Tương tự. Dạng 2. Chứng minh một hình H có tâm đối xứng Phương pháp giải: Bước 1. Xác định điểm cố định 0. Bước 2. Chứng minh rằng, với mọi điểm M thuộc H, điểm M’ = 0 (M) cũng thuộc H.
Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, gọi (C) là đồ thị của hàm số y=. Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng là 0, gốc của hệ tọa độ Oxy. Gọi M'(x’; y’) là ảnh của M qua Đ thì từ MO + OM’ = 0, ta có: OM = OM’. Hệ thức này chứng tỏ M’ (C). Tóm lại, với mọi điểm M thuộc (C), M là ảnh của M qua và cũng thuộc (C). Vậy, (C) có tâm đối xứng là 0. Ví dụ 2: Cho hai điểm cố định A và B có AB = 2. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA + MB = MM’, biết rằng MA + MB = 4. Đề tìm tập hợp những điểm M ta phải tìm tập hợp những điểm M. Ta có MA + MB = 4. Gọi O là trung điểm của AB thì 0 cố định. Mà MA + MB2 = 2MX + 4. Do đó, tập hợp những điểm M là đường tròn (C) tâm O có bán kính R = 1. Bây giờ ta tìm tập hợp những điểm M. Ta có: MA + MB = MM’ (giả thiết) Mà O là trung điểm của AB nên: MA + MB = 2MO (2) Từ (1) và (2) ta có: MM’ = 2 OM + OM’ = 0. Do đó M’ = Đ(M). Theo trên, M thuộc (C) nên M thuộc (Co) là ảnh của (C) qua Đo. Mà (C”) chính là (C). Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm O, trung điểm của AB, bán kính R = 1.
Dạng 3. Dùng phép đối xứng tầm để dựng hình. Phương pháp giải: Muốn dựng điểm N, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Xác định hai điểm M và D sao cho N = Đ(M). Bước 2. Tìm các dụng điểm M suy ra N. Ví dụ: Dựng hình bình hành ABCD, biết rằng hai đỉnh B và D cố định, đỉnh A thuộc một đường tròn (I) đã cho và đỉnh C thuộc một đường thẳng d đã cho. Gọi O là trung điểm của BD thì O cố định và Đ(A) = C. Ta dựng A trước. Vì ảnh của d qua Đ. Do đó: A = (I). Đã có A, ta dựng C = Đ(A). Tóm lại: Hình bình hành ABCD dã dựng xong. Bài toán có 2 lời giải tùy theo d” và (I) có 2 giao điểm. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến một đường thẳng a cho trước thành chính nó? Tâm đối xứng là điểm bất kì nằm trên a.
Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d”. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến mỗi đường thắng đó thành chính nó? Tâm đối xứng phải nằm trên cả d và do nên không có. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d”. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến d thành d? Tâm đối xứng là các điểm cách đều d và d”. Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d”. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? Tâm đối xứng là giao điểm của d và d”. Câu 5. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d”. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến đường thẳng d thành do? Vì phép đối xứng tâm biến d thành đường thẳng song song hoặc trùng với d. Câu 6. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến đường thẳng a thành đường thẳng b và biến đường thẳng c thành chính nó?
Câu 7. Cho bốn đường thẳng a, b trong đó a || a’, b || b’ và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tầm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a và b? Đó là phép đối xứng qua tấm hình bình hành tạo thành bởi bốn đường thẳng đã cho. Câu 8. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng? Câu 9. Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng? A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp. B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp. C. Hình lục giác đều. Hình gồm một đường tròn và một hình vuông nội tiếp. Câu 10. Trong các hình dưới đây, hình nào không có vô số tâm đối xứng? Đồ thị của hàm số y là đường hypebol, chỉ có duy nhất một tâm đối xứng là điểm gốc tọa độ. Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng tầm biến điểm A(1; 2) thành điểm Al(-3; 4) thì nó biến điểm B(1; -1) thành điểm Trung điểm của BB’ phải là trung điểm của AA”. Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm có tâm là điểm gốc tọa độ. Khi đó nó biến đường thẳng 3x – 4y + 13 = 0 thành đường thẳng. Phép đối xứng qua 0 biến điểm M(x; y) thành điểm M(-x; -y).
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tầm với tâm là điểm A(1; -1). Khi đó nó biến đường thẳng 2x – 3y + 5 = 0 thành đường thẳng: Điểm I phải cách đều đường thẳng dã cho và ảnh của nó. Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương trình 3x + 4y – 1 = 0 và 3x + y + 5 = 0. Nếu phép đối xứng tầm biến a thành b thì tâm đối xứng phải là điểm nào trong các điểm sau đây? Tâm đối xứng phải cách đều hai đường thẳng đã cho. Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(a; b). Thực hiện phép đối xứng tâm I biến điểm M(x; y) thành M(x; y). Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm này là. Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x + x’. Phương trình của parabol (Q) đối xứng với (P) qua gốc tọa độ O là Hai điểm M(x; y) và M'(-x; -y) thì đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. Do đó phương trình của parabol (Q) là: -y = (-x) + (-x). Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; -1) và đường thẳng A có phương trình x + 2y – 2 = 0. Ảnh của A qua phép đối xứng tâm Đ là đường thẳng có phương trình.