Xác định góc – hình chiếu – tính độ dài trong không gian

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xác định góc – hình chiếu – tính độ dài trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Xác định góc – hình chiếu – tính độ dài trong không gian:
Xác định góc – hình chiếu – tính độ dài. Phương pháp. Bước 1: Tìm giao điểm O của a với a. Bước 2: Chọn AC và dựng AH. Bước 3: Tính số đo của AOH dựa trên 20 các hệ thức lượng trong tam giác. Các trường hợp đặc biệt. Nếu [a, (0)] thì 0 < 90°. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc (ABC) và SA = a, AB = a/3, tam giác SBC cân tại S. Góc a giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABC) là. Xác định góc a và B. Ta có: [AB là hình chiếu của SB trên (ABC) BAC là hình chiếu của SC trên (ABC). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a/3. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a. a) Góc a giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là. Góc B giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là. Góc Y giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) là. Hướng dẫn giải Xác định góc a và B. Ta có: AB là hình chiếu của SB trên (ABCD) SA vuông góc (ABCD) AD là hình chiếu của SD trên (ABCD). Góc 0 giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là SBA SA (ABCD) = ASAB vuông cân tại A. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là SDA SA I(ABCD) = ASAB vuông tại A. SA là hình chiếu của SD trên (SAB) vuông tại A.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC = a, AA' = a/2 và cos BAC. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (A ACC) bằng. Áp dụng định lí côsin trong AA'BC, ta có Kẻ BH vuông góc AC, khi đó BH (AA'C'C). Suy ra góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng là góc BA'H. Trong tam giác vuông ABH. Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB = 3cm, BC' = 3/2cm. Góc hợp bởi đường thẳng BC và mặt phẳng (ACC'A') bằng A. Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra H là hình chiếu của BC lên mặt phẳng. Do đó (BC, ACC'A')) = (BC,HC). Ta có tam giác BHC vuông tại H, cạnh BH = 342cm. Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'CD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, A = 60°. Chân đường vuông góc hạ từ B xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD. Cho BB' = a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng A. 30°. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Theo giả thiết ta có hình chiếu BB trên (ABCD) là OB = (B'B,(ABCD)) = (B'B,BO) = B'BO. Tam giác ABD có AB = AD = a.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng d. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SBC) (SD;(SBC)) = HSD = cos(SD;(SBC) = cos DSH – SH S.ave = SA.AB. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, SB. Khẳng định nào dưới đây là đúng? Tam giác AB, có 1 = BC suy ra IK song song với SA. Từ (1), (2) suy ra mp (IJK ) // mp (SAC). Vì ABCD là hình vuông = BDI AC mà SA vuông góc BD suy ra BD L(SAC). Kết hợp với (*), ta được BD (IJK ). Vậy góc giữa hai đường thẳng SC, BD bằng 90°.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Góc giữa D và mặt phẳng (ABD) là góc CBD. P2 = CB (ABD) = B là hình chiếu của C trên mp (ABD). Suy ra góc giữa CD và mặt phẳng (ABD) là góc CDB AB I(BCD )= B là hình chiếu của A trên mp (BCD). Suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (BCD) là góc ACB. BD L(ABC) = B là hình chiếu của D trên mp (ABC). Suy ra góc giữa AD và mặt phẳng (ABC) là góc DAB. D sai, vì B là hình chiếu của C trên mp(ABD) suy ra góc giữa AC và mặt phẳng (ABD) là góc CAB. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BC. H là hình chiếu của 0 trên (ABC). Khẳng định nào dưới đây đúng? A. H là trung điểm của cạnh AB Ta có SA vuông góc với mp(ABC) = SAL BC mà AB BC suy ra BC (SAB) = BC SB = tam giác SBC vuông tại B = 0 là trung điểm của SC. Theo bài ra, ta có OH (ABC) = OH, H là trung điểm của AC. Mà tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, cạnh bên SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó A H là trực tâm của tam giác ABC. Vì H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) nên ta có. Tam giác SAH vuông tại H, có SA = AH? Tam giác SBH vuông tại H. Tam giác SCH vuông tại H, có SC2 = CH + SH. Kết hợp điều kiện SA = SB = SC suy ra HA = HB = HC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có BSC = 120°, CSA = 60°, ASB = 90 và SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó I là trung điểm của AB. Đặt SA = a. Tam giác SAB vuông cân tại s, có AB = SA + SB° = a/2. Tam giác SAC cân tại s, có CSA = 60° suy ra SA = SC = AC = a. Áp dụng định lí Cosin cho tam giác SBC, ta có BC = SB + SC. Khi đó, tam giác ABC vuông tại A mà I là hình chiếu của s trên mp (ABC). Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chính là trung điểm BC.
Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O, BAD = 60° và A'A = A'B = A'D. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) là A. trung điểm của AO. B. trọng tâm của tam giác ABD. C. tâm O của hình thoi ABCD. D. trọng tâm của tam giác BCD. Vì ABCD là hình thoi AB = AD mà BAD = 60° suy ra tam giác ABD đều (1). Ta có A'A = A'B = A'D nên hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (2). Từ (1), (2) suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là. A. tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. B. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của s trên mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của s trên các cạnh AB, AC, BC. Khi đó (SAB) (ABC) = (SM; HM) = SMH, tương tự suy ra ở SMH, H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.