VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
Cho hình chóp S.A1A2 … A, và mp(a). Nếu (a) cắt một mặt nào đó của hình chóp thì (a) sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của (a) với mặt đó. Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện. Như vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (a), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có). Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm. Sử dụng thêm định lý: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (a). Nếu mặt phẳng (8) chứa d và cắt mặt phẳng (a) theo giao tuyến d thì d song song d’.
SSỐ BÀI TẬP DẠNG 3: Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, M là trung điểm của OC, mặt phẳng (a) đi qua M và song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp Với mặt phẳng (a). Trong mặt phẳng (ABCD) qua M kẻ đường thẳng song song với BD, cắt BC tại N và cắt CD tại Q. Trong mặt phẳng (SAC) qua M kẻ đường thẳng song song với SA, cắt SC tại P. Khi đó ta có: (a) n(ABCD) = NQ, (a)n(SBC) = NP, (a)n(SCD) = PQ. Do đó: (a)nS.ABCD = NPQ. Vậy thiết diện là tam giác NPQ.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi (a) là mặt phẳng qua trung điểm của cạnh AC, song song với AB và CD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (a). Lời giải. Gọi I, J, L, K lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Ta có: (a) n (ABC) = IJ (a) n(BCD) = JL (a) n (ABD) = LK (a) n (ACD) = IK Do đó, (a)n(ABCD) = IJLK. Dễ thấy IJ LK là hình bình hành.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB. Điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (MEF). Dễ thấy EF || AB, trong mặt phẳng (ABCD) qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N. Ta có: (MEF) n (SBC) = MF. (MEF) n (SAB) = EF. (MEF) n (SAD) = EN. (MEF) n (ABCD) = MN. Do đó, (MEF)0S.ABCD = MNEF. Vậy thiết diện là hình thang MNEF, hai đáy là MN và EF.
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = c. Mặt phẳng (a) đi qua M song song với SA, BD và cắt SO, SB, AB lần lượt tại N, P, Q. Cho SA = a, tính diện tích MNPQ theo a và x, biết NM || MQ.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác (BCD). Gọi O là điểm tùy ý nằm trong đoạn thẳng AG. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua 0, song song với DG và BC là hình gì? Lời giải. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trong (AMD), qua O kẻ đoạn thẳng IP vuông góc DG, (IE AM; P ( AD). Trong mặt phẳng (ABC), qua I kẻ đoạn thẳng QR || BC, CQ6 AB; R € AC). Khi đó (PQR) là mặt phẳng đó qua O và song song với DG và BC, suy ra thiết diện là APQR.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình, cạnh SC = a. Gọi M là điểm di động trên cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua M, song song với SA và BD. Đặt SM = 0 (z + IR). Tìm tất cả các giá trị của x để (P) cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác. Lời giải. Nếu M trùng S hoặc C thì không tồn tại thiết diện. Nếu MC