VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn nhiều hạng tử, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn nhiều hạng tử:
Dạng 3. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn nhiều hạng tử Phương pháp: – Bước 1: Viết khai triển thu gọn về 2 hạng tử Ta có 0 0 0 n n k n k n k n k k i k i i n k n n k k k i a b c a b c C a b c C C a b c. Ở đây 0 0 k n i k – Bước 2: Dựa vào chỉ số mũ của x để biện luận tìm i và k. – Bước 3: Kết luận về hệ số của số hạng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm hệ số của x 6 trong khai triển 7 2 1 1 x x thành đa thức. Lời giải Cách 1: Ta có 2 2 2 7 7 0 0 1 1 1 k k k k i i x x C x x C x C x. Vậy ta có hệ số của x 6 là 7 i C Ck thỏa mãn: 0 0 7 3 i k k k i. Vậy hệ số của x 6 trong khai triển là: 3 0 2 2 7 3 7 2 C C C 56. Cách 2: Ta có: 7 2 7 2 0 1 2 2 4 7 14 x C x x C x x.
Nhận thấy x 6 chỉ có trong: 2 3 2 4 3 6 7 7 C x x C x x 1 1. Vậy hệ số của x 6 trong khai triển là: 2 3 7 7 C C 56. Ví dụ 2. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển 8 2. Lời giải: Ta có 8 8 8 2 2 2 k k x x C x x C x x k k k i k i C x C x C C x. Tìm hệ số x 8 thì 3 3 8 1 8 0 4 k i i k i k nên hệ số của x 8 là 2 0 3 1 4 4 8 3 8 4 C C.
Ví dụ 3. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển đa thức của: 8 2 1. Lời giải Cách 1: Ta có 8 8 2 2 k k k i i f x C x x C x C x. Vậy ta có hệ số của x 8 là: 8 k i C Ck thỏa 0 0 8 4 2 8 i k k k i. Hệ số trong khai triển của x 8 là 0 2 4 0 3 2 C C. Cách 2: Ta có: 3 4 8 0 3 2 4 2 8 2 x x C x x C x x. Nhận thấy: x 8 chỉ có trong các số hạng: Số hạng thứ 4: 3 3 2 8 C x x.
Số hạng thứ 5: 4 4 2 8 C x x. Với hệ số tương đương với: 3 2 4 0 8 8 3 8 4 a C C 238. Ví dụ 4. Cho khai triển 2 2 3 2 n n a x a x a x a x (với n). Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển biết 1 2 3 2 6 6 9 14. Lời giải Ta có: n C n n n. Theo bài 9 14 2 7 0. Suy ra 1 m k m m k m. Hạng tử chứa. Vậy hệ số của hạng tử chứa x 4 là: 4 0 3 1 2 2 7 4 7 3 7 2 T C 161.
Ví dụ 5. Tìm hệ số của x 6 trong khai triển thành đa thức của 5 7 2 P x 2 1 3 3 1 2. Lời giải Ta có: 5 7 2 2 k k P x x C x x C x. Suy ra số hạng chứa x6 của P(x) là: 4 5 2 4 5. Vậy hệ số của x 6 là: 4 4 5 5 5 7 T C C. Ví dụ 6. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức 2 2 1 2 1 3 n n P x biết rằng 2 1 A 5 1 n n n C.
Lời giải: Ta có: 1 2 1 3 2 n n k k. Theo bài 2 1 5 1 5 5 2 A C n n. Suy ra số hạng chứa x 5 là: 4 3 4 2 3 5 5 x C x x C x. Vậy hệ số của x 5 là: 4 4 3 3 5 5 T C C. Ví dụ 7. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 3 1 3 n P x x biết rằng 2 2 1 6 5 n C n A n n. Lời giải Ta có: 6 5 1 6 5 1 2 n C n A n n (với n n 2).
Khi đó 1 3 1 3 . . . 3 0 10 k i P xx C C x x i k. +) Cho 30 3 4 3 26 k i k i ta có các cặp (i; k) thỏa mãn là: (1;9), (4;10) +) Vậy hệ số của x 4 trong khai triển là: 1 1 4 0 9 1 10 40. Ví dụ 8. Tìm hệ số của x 13 trong khai triển 3 3 1 2 2 1 4 n P x biết rằng 3 2 14 n A C n n n. Lời giải Ta có: 2 1 14 1 2 1 14 2 1 2 1 28 5 n n. Khi đó ta có: 6 21 15 21 6 6 21 k k P x x x C x.
Cho k 13 ta có hệ số của x 13 trong khai triển là: 13 13 6 21 26046720 2 C. Ví dụ 9. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 12 2 P x x. Lời giải: Xét khai triển: 12 12 k i k k k i k. +) Cho 24 2 4 2 20 k i k i ta có các cặp i k thỏa mãn là? Vậy hệ số của x 4 trong khai triển là: 10 0 11 2 12 4 C C 1221. Ví dụ 10. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 1 3 1 n x x biết rằng 1 2 3 1 2 1 3 8 3 n C C C n n n.
Lời giải: ĐK: n n 2. Ta có: Vậy không có giá trị n thỏa mãn. Ví dụ 11. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển 8 2 1 x x thành đa thức? Lời giải: Khai triển x x C x x C C x x C C x. Với hệ số của x 8 thì k i 8 với điều kiện 0 8 i k i k thì các bộ số k i thỏa mãn là? Từ đó hệ số của x 8 là 4 4 5 3 6 2 7 1 8 0.