Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton:
Phương pháp: Sử dụng biến đổi đại số và lựa chọn các giá trị thực phù hợp.Một số hệ thức thường gặp: 1. C + C + … + k + … + Cm = 2^n. Một số hướng tiếp cận: 1. Thay thế. 2. Nhân thêm. 3. Gộp, tách tổng. 4. Đồng nhất thức. Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: 1 + 4C + 42C +…+ 4°C = 5^n. Áp dụng khai triển nhị thức ta có: VT = 1 + 4Ch + 42C2 + … + 4^ CM = CO + 4Ch + 42C2 + … + 4^Ch = (1 + 4)^n = 5^n = VP + điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: 4n-1cm + 4n-2C2 + … + (-1) = C + 2C.+ 2 C2 + … + 2C. Trong khai triển nhị thức Newton: Chọn a = 4, b = -1 = 47C – 4n-li + 47-2C2 +…+(-1)^2 Chọn a = 1,6 = 2 + 2 + 2C + 2^2+…+ 2C = 3. Ví dụ 3. Với p, a, b là các số nguyên dương và p < a, b. Chứng minh: C2-C + Cm-PC + … + 0 + 9C + … + C = CO + b. Lời giải. (1 + 2)2 + b = C2 + C, P +…+ C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: (C) + (C)^ +..+ (C) = (C). Lời giải. Áp dụng kết quả: C + C – C + C – C +…+ CH C +…+ C = C. Với p= a = b = 0. Ta có điều phải chứng minh. Bài 2. Với n là số nguyên dương, chứng minh: C + 2C +3 +…+ nC = 0.27 – 1. Với x = 1 ta có: 2S = 32. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.