Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn có điều kiện

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn có điều kiện, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn có điều kiện:
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển có điều kiện Phương pháp: – Bước 1: Tìm n dựa vào điều kiện đề bài cho – Bước 2: Quy về dạng 1 đã biết Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển 9 x 3? Lời giải: Ta có 9 9 9 9 1 3.. 3 k k k k x C x. Hệ số của số hạng chứa x k trong khai triển sẽ là: 9 9 3 k k T C. Số hạng chứa x 3 tức k 3 là 6 3 9 T C 3 61236.
Ví dụ 1. Cho biết trong khai triển 3 2 1 n x x tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11. Tìm hệ số của x 2? Lời giải: Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11 nên ta có: 1 ! 2 2 ! n n n n n C C C. Số hạng chứa x 2 ứng với 5 8 2 2 0 4 k k k. Vậy số hạng chứa x 2 bằng: 2 4 C 6.
Ví dụ 2. Cho biết trong khai triển 2 1 n x x tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46. Tìm hạng tử không chứa x. Lời giải: Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46 nên ta có: 0 1 2 46 45 45 1 ! 2 2 ! 2 n n n C C C n. Ta có 2 2 1 3 9 k k x C x x C x x. Số hạng không chứa x ứng với 3 9 0 3. Vậy số hạng không chứa x bằng: 3 9 C 84.
Ví dụ 3. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển biểu thức 4 3 3 2 1 0 n A x x. Trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: 3 1 2 30 17 A C C n n n. Lời giải Ta có: 3 1 2 30 17 1 2 15 1 17 A C C n n n. Với n 17 ta có số hạng tổng quát: 17 2 17 34 3 k k T C x x C x k k k. Cho 17 34 8 12 3 k k. Vậy số hạng không chứa x là 8 17 C 24310.
Ví dụ 4: Cho khai triển 3 2 3 n x x. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 631. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5. Lời giải Ta có: 3 13 3 3 2 6 3 3 2 2 0 0 k k k n n k k x C x C x. Từ đó tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là: 3. 3. 3. 3 631 1 3 631 12 2 n n n n C C C C n n. Khi đó ta có: 12 12 13 18 3 6 k k n k x C x. Hệ số của số hạng chứa x 5 là: 12 3 k k T C.
Với k thỏa mãn: 6 6 12 13 18 5 6 3 6 k k T C. Ví dụ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x 15 trong khai triển 3 2 3 n x thành đa thức, biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 3 1 2 8 49 A C C n n n. Lời giải +) Điều kiện: n 3. +) Ta có 3 1 2 3 2 8 49 1 2 8 49 7 7 49 0 A C C n n. +) Với n 7 ta có khai triển k k x C x C x. Xét hạng tử x 15 suy ra 3 15 k hay k 5. Từ đó hệ số của hạng tử x 15 bằng 2 5 5 7 C 2 3 6048.
Ví dụ 6. Tìm hệ số của hạng tử chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton 5 3 1 n n n x x biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1 4 3 7 3 n n C C n n n. Lời giải: 7 3 7 3 2 14 12. Ta có 12 12 12 12 5 60 11 n x x C x C x x x x. Ta có 60 11 8 4 2 k k do đó hệ số là 4 4 8 12 C 13 12. Ví dụ 7: Với mọi số nguyên dương n, khai triển nhị thức 1 3 n x theo thứ tự số mũ giảm dần, tìm số hạng đứng giữa của khai triển biết hệ số của số hạng thứ ba là 5.
Lời giải: 3 3 9 3 n n n n x C x C x C x C. Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 1 29 Cn. Theo giả thiết 2 2 5 45 90 0 10 n C n n n. Với n 10 ta có 11 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 6, tức là bằng 5 10 1 28 3 27 C x x. Ví dụ 8. Cho biết hệ số của số hạng thứ tư của khai triển 2 5 1 0 x x bằng 70. Hãy tìm số hạng không chứa x trong khai triển đó.
Lời giải: Ta có 6 6 16 2 n n k n n k k x x. Hệ số của số hạng thứ tư tương ứng với k 3 tức là: 7 56 3 2 336 0 8 2 3! 3 ! n. Tìm số hạng không chứa x ta có: 16 2 0 5 5 k n k nên số hạng đó là 5 8 5 1 7 2 4 C. Ví dụ 9. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của 4 n x biết 3 2 1330 C C n n. Lời giải: Ta có n 1 1 1330 3! 1330 0 20. Khi đó ta cần tìm hệ số của x 5 trong khai triển của 20 3 1 20 4 2 4 x x.
Gọi số hạng phải tìm là T(k) ta có: 3 1 5 20 5 x C x k k. Vậy hệ số của x 5 là 8 20 C 125970. Ví dụ 10. Cho khai triển 3 n x x. Tìm hệ số của x 2 trong khai triển trên biết tổng hệ số của khai triển là 1024. Lời giải Ta có khai triển Niu tơn. Tổng hệ số của khai triển là 0 1 3 3 1 2 n i n n i n. Theo giả thiết ta tìm được n 10. Khi đó 10 10 2 i i x C x x. Để có số hạng chứa x 2 thì 3 10 2 8 2 i. Hệ số cần tìm là 2 8 10 3 405.