VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Hình chữ nhật, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Hình chữ nhật:
A LÝ THUYẾT Hình chữ nhật là một tứ giác có bốn góc vuông. Hình chữ nhật có đầy đủ tính chất của hình thang cân và hình bình hành, trong đó đặc biệt chú ý đến tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta chứng minh tứ giác đó có ba góc vuông hoặc chứng minh tứ giác đó là hình bình hành có một trong các tính chất a) Có một góc vuông; b) Có hai đường chéo bằng nhau. Áp dụng vào tam giác, ta có 1 Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; 2 Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông. VÍ DỤ 1. Tính các cạnh AB, AD của hình chữ nhật ABCD biết rằng đường vuông góc AH kẻ từ A đến BD chia thành hai đoạn HD = 9 cm, HB = 16 cm. LỜI GIẢI. Ta có BD = BH + HD = 16 + 9 = 25 cm.
Xét tam giác ABD vuông tại A có AB2 + AD2 = 252 = 625. (1) Xét tam giác AHD vuông tại H có AH2 + HD2 = AD2 ⇔ AD2 = AH2 + 92 . (2) Xét tam giác AHB vuông tại H có AH2 + HB2 = AB2 ⇔ AB2 = AH2 + 162 . (3) A B D C H Từ (2) và (3) ta có AB2 − AD2 = 162 − 9 2 = 175. (4) Từ (1) và (4) ta được AB2 = (625 + 175) : 2 = 400 ⇒ AB = 20 cm. AD2 = (625 − 175) : 2 = 225 ⇒ AD = 15 cm. VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, ta vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH, CDFK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK. LỜI GIẢI. Gọi I, O lần lượt là tâm của hình chữ nhật BDEH, CDFK. Ta có IBD = IDB, OCD = ODC (tính chất hình chữ nhật). Mà IBD = OCD (do tam giác ABC cân tại A) nên IBD = IDB = OCD = ODC. Do đó BE k DK, DH k CA, suy ra AIDO là hình bình hành ⇒ AO = ID. Mà HI = ID nên AO = HI.
Lại có AO k HI nên AOIH là hình bình hành, do đó AH k IO, AH = IO. (1) Chứng minh tương tự ta được AIOK là hình bình hành nên AK k IO, AK = IO. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra A, H, K thẳng hàng và AH = AK. Vậy A là trung điểm của HK. B D C H E I A K O F VÍ DỤ 3. Cho hình bình hành ABCD có các đường cao AE, AF. Tính khoảng cách từ A đến trực tâm H của tam giác AEF biết AC = 25 cm, EF = 24 cm. LỜI GIẢI. Kẻ CN ⊥ AB tại N ⇒ AECN là hình chữ nhật nên AN = EC. Xét tứ giác EHF C có EH k CF, HF k EC nên EHF C là hình bình hành, do vậy EC = HF ⇒ AN = HF. Xét tứ giác ANF H có AN k F H, AN = F H nên ANF H là hình bình hành, do đó AH = NF và AH k NF. Lại có AH ⊥ EF nên F N ⊥ EF. D E C A N B F H Xét tam giác ENF vuông tại F có EF = 24 cm, NE = AC = 25 cm nên NF2 = NE2 − EF2 = 252 − 242 = 49 ⇒ NF = 7 cm. Vậy AH = 7 cm. B BÀI TẬP BÀI 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ IK. LỜI GIẢI. Gọi O, N lần lượt là giao điểm của AH, AM với IK. Ta có MAK = MCK, OKA = OAK nên MAK + OKA = MCK + OAK = 90◦ . Do đó AM ⊥ IK. B H M C A K N I O.
BÀI 2. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, H là hình chiếu vuông góc của A lên OD. Biết DAH = HAO = OAB , chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. LỜI GIẢI. Kẻ OK ⊥ AB tại K. Ta sẽ chứng minh BAD = 90◦ . Thật vậy, ta có AOK = 90◦ − OAK = 90◦ − OAH = AOH . Do đó 4AOH = 4AOK (g-c-g), suy ra OK = OH. Vì OH ⊥ OD, DAH = OAH nên 4ADO cân tại A, do đó OH = 1 2 OD. A K B D C H O Mà ABCD là hình bình hành nên OB = OD, do vậy OK = OH = 1 2 OB. Xét tam giác OKB vuông tại K có OK = 1 2 OB nên OBK = 30◦ ⇒ OAB = 30◦ . Do đó BAH = 60◦ , BAD = 90◦ . Vậy ABCD là hình chữ nhật. BÀI 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H và I là giao điểm của các đường trung trực. Gọi E là điểm đối xứng của A qua I. Chứng minh rằng BHCE là hình bình hành. LỜI GIẢI. Vì I là giao điểm của các đường trung trực của 4ABC nên IA = IB = IC. Mà IA = IE nên IA = IB = IC = IE. Xét tam giác AEC có I là trung điểm AE, CI = 1 2 AE nên 4ACE vuông tại C ⇒ CE ⊥ AC. Mà BH ⊥ AC nên BH k CE. (1) Xét tam giác AEB có I là trung điểm AE, BI = 1 2 AE nên 4ABE vuông tại B ⇒ BE ⊥ AB. Mà CH ⊥ AB nên CH k BE. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra BHCE là hình bình hành. A B H I C E.
BÀI 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng HM là tia phân giác của góc AHC . LỜI GIẢI. Kẻ EK ⊥ BC tại K, EI ⊥ AH tại I ⇒ IHKE là hình chữ nhật, do đó IE = HK. Mà EAI + HAB = 90◦ = HAB + HBA nên HBA = EAI . Lại có AB = AE nên 4AHB = 4EIA ⇒ AH = IE = HK. Vì các tam giác BAE, BKE lần lượt vuông tại A, K và M là trung điểm BE nên AM = KM = 1 2 BE. Do vậy 4AHM = 4KHM (c-c-c) ⇒ AHM KHM , suy ra HM là tia phân giác của góc AHC . B H K C M A E I BÀI 5. Cho hình thang cân ABCD có AB k CD, ACD = 60◦ và O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EF G là tam giác gì? Vì sao? LỜI GIẢI. Vì ABCD là hình thang cân nên 4ACD = 4BDC (c.g.c). Mà ACD = 60◦ nên BDC = 60◦ . Khi đó các tam giác OAB, OCD là các tam giác đều. Vì E, F lần lượt là trung điểm của OA, OD nên BE ⊥ OA, CF ⊥ OD và EF = 1 2 AD = 1 2 BC. (1) Xét các tam giác BEC, BF C lần lượt vuông tại E, F có G là trung điểm của BC nên EG = F G = 1 2 BC. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra 4EF G là tam giác đều. D C F O A B E G.
BÀI 6. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh B lên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD và M, K lần lượt là trung điểm của AH, CD. 1 Gọi I, O lần lượt là trung điểm của AB, IC. Chứng minh rằng MO = 1 2 IC. 2 Tính số đo góc BMK . LỜI GIẢI. 1 Vì ABCD là hình chữ nhật và I, K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên BIKC là hình chữ nhật. Do đó O là trung điểm của CI, BK. Xét tam giác IMC vuông tại M có MO = 1 2 IC. A B O I D C H K M b) Xét tam giác MBK có MO = 1 2 IC = 1 2 BK nên BMK = 90◦ . BÀI 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng a, b, c, chu vi bằng 2p và các đường cao tương ứng lần lượt là h, m, n. Chứng minh rằng (b + c) 2 ≥ a 2 + 4h 2 a) . h b) 2 ≤ p(p − a). h 2 + m2 + n 2 ≤ p 2 c) . LỜI GIẢI. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC và gọi D là điểm đối xứng của B qua d. 1 Ta có BD = 2h. Xét tam giác BCD vuông tại B có BD2 + BC2 = CD2 ≤ (AD + AC) 2 ⇒ 4h 2 + a 2 = (b + c) 2 . (1) 2 Từ (1) suy ra 4h 2 ≤ (b + c) 2 − a 2 = (b + c + a)(b + c − a) = 4p(p − a). Do đó h 2 ≤ p(p − a). d B C A D a c b c) Tương tự câu b) ta có m2 ≤ p(p − b) và n 2 ≤ p(p − c). Cộng các kết quả trên ta được h 2 + m2 + n 2 ≤ p(p − a + p − b + p − c) = p 2 .
BÀI 8. Cho hình thang vuông ABCD có Ab = D = 90◦ , AB = AD = CD 2 . Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường thẳng vuông góc với DE, cắt BC tại F. Chứng minh rằng ED = EF. LỜI GIẢI. Kẻ BH ⊥ CD tại H ⇒ ABHD là hình vuông, do đó BH = a và DH = a ⇒ CH = a. Ta có BH = HD = CH = a ⇒ 4BCD vuông tại B. Gọi M là trung điểm của DF, ta có EM = BM = DF 2 ⇒ các tam giác MEB, MF B cân tại M. Vì ABHD là hình vuông nên DBH = 45◦ ⇒ ABC = 135◦ . D C M H A E B F Lại có MEB + MF B = MBE + MBF = EBF = 135◦ , do đó EMF = 360◦ − 2 · 135◦ = 90◦ . Xét tam giác DEF có EM là trung tuyến, đồng thời là đường cao nên 4DEF cân tại E nên ED = EF.