VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Dựng hình bằng thước và compa, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Dựng hình bằng thước và compa:
Giải bài toán dựng hình (bằng thước và compa) là chỉ ra một số hữu hạn lần các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản rồi chứng tỏ hình dựng được có đủ các điều kiện mà bài toán đòi hỏi. Lời giải đầy đủ của một bài toán dựng hình gồm bốn phần: 1 Phân tích. Giả sử đã có một hình thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Có thể vẽ thêm hình mới làm xuất hiện những yếu tố nêu trong đề bài hoặc làm xuất hiện những hình có thể dựng được ngay. Đưa việc dựng các yếu tố còn lại của hình phải dựng về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản đã biết. 2 Cách dựng. Nêu thứ tự từng bước dựng hình dựa vào các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, đồng thời thể hiện các bước dựng đó trên hình vẽ. 3 Chứng minh. Dùng lập luận chứng tỏ rằng với cách dựng như trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 4 Biện luận. Chỉ rõ trong trường hợp nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài (hình thỏa mãn đề bài gọi là nghiệm hình).
VÍ DỤ 1. Dựng tam giác ABC, biết AC = b, AB = c, B − Cb = α. LỜI GIẢI. c b α A m y B C n x D α c b 1 Phân tích Giả sử đã dựng được 4ABC có AC = b, AB = c, B − Cb = α. Kẻ Ax k BC, kẻ tia Cy sao BCy = B (Cy và A cùng phía đối với BC). ABCD là hình thang nên CD = AB = c, ACD = BCD − BCA = B − BCA = α. Tam giác ACD dựng được (biết hai cạnh và góc xen giữa). Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên đường thẳng qua C song song với AD và DAB = ADC. 2 Cách dựng Dựng 4ACD có AC = b, CD = c, ACD = α. Qua C dựng đường thẳng Cm k AD. Dựng tia An sao cho DAn = ADC , cắt Cm ở B. 3 Chứng minh Tứ giác ABCD có AD k BC, DAB = ADC nên là hình thang cân, do đó AB = CD = c, ABC = DCB. Ta có ABC − ACB = DCB − ACB = ACD = α. 4 Biện luận Bài toán có một nghiệm hình nếu b > c và α < 180◦. Chú ý: Điểm B được dựng ở ví dụ là giao điểm của hai tia Cm và An. Điểm B đã được dựng là giao điểm của hai đường thẳng, hay tổng quát là giao của hai tập hợp (quỹ tích). Phương pháp lấy giaO của hai quỹ tích gọi là phương pháp quỹ tích tương giao. Nội dung của phương pháp là: Để dựng một điểm, ta phân tích điểm đó thỏa mãn hai điều kiện, do điều kiện thức nhất điểm thuộc một quỹ tích, do điều kiện thứ hai điểm thuộc một quỹ tích khác, giao điểm của hai quỹ tích ấy cho ta điểm phải dựng.
Khi phân tích một điểm thuộc đường nào, cần nhớ các kiến thức sau: Điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB thì nằm trên đường trung trực của AB. Điểm cách đều điểm O một khoảng r thì nằm trên đường tròn (O; r). Điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc ấy. Cũng cần chú ý đến số giao điểm của hai đường. Hai đường thẳng có thể có 0, 1 hoặc vô số giao điểm tùy theo chúng song song, cắt nhau hay trùng nhau. Đường thẳng và đường tròn (O; r) có thể có 0, 1 hoặc 2 giao điểm tùy theo r < h, r = h hoặc r > h (h là khoảng cách từ O đến đường thẳng). Hai đường tròn có thể có O, 1, 2 hoặc vô số giao điểm. Dựa vào số giao điểm ấy mà ta biện luận bài toán. VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng tồn tại một hình thang có độ dài bốn cạnh bằng độ dài bốn cạnh của một tứ giác cho trước. LỜI GIẢI. Gọi a, b, c, d là độ dài bốn cạnh của tứ giác (a ≥ b ≥ c ≥ d). Cần chứng minh tồn tại hình thang có bốn cạnh như trên: Chọn đáy lớn bằng a, đáy nhỏ bằng d. Ta dựng 4BEC rồi dưng D và A. Để chứng minh tồn tại hình thang ABCD, ta sẽ chứng tỏ tồn tại 4BEC (tam giác này có thể suy biến thành đoạn thẳng). Thật vậy, ta có d b c c a − d a A B D E C b + c > a − d (vì d + b + c > a do a, b, c, d là bốn cạnh của tứ giác), a − d + b ≥ c (vì a ≥ c, c ≥ d), a − d + c ≥ b (vì a ≥ b, c ≥ d).
A BÀI TẬP BÀI 1. Dựng hình thang ABCD (AB k CD), biết: 1 AB = 1 cm, AD = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 3 cm. 2 AB = a, CD = b, AC = c, BD = d. LỜI GIẢI. 1 Trước hết dựng 4BEC biết ba cạnh BC = 3 cm, BE = CD = 2 cm. Sau đó dựng điểm D và điểm A. 1 3 2 2 2 A B D E C 2 Trước hết dựng 4BDE, biết ba cạnh DE = a + b, BE = c, BD = d. Sau đó dựng điểm A. a a d c c b A B D C E BÀI 2. Dựng hình thang cân ABCD (AB k CD), biết AB = a, CD = b, D = α. LỜI GIẢI. Trước hết dựng tam giác 4ADE có DE = b − a, D = AED = α. Sau đó dựng các điểm C và B. a b − a α A B D E C BÀI 3. Dựng tứ giác ABCD, biết ba góc và a) Hai cạnh kề nhau; b) Hai cạnh đối nhau. LỜI GIẢI. Cách dựng thể hiện trên hình. A y x B C D a b α γ a) Cách dựng thể hiện trên hình. B C C 0 y A D D0 x a b β α γ b) BÀI 4. Dựng tam giác ABC, biết B = β, Cb = α, BC − AB = d. LỜI GIẢI. 1 Phân tích. Giả sử đã dựng được 4ABC có B = β, Cb = α, BC−AB = d. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = AB thì DC = BC − BD = BC − AB = d. Ta có 4ABD cân nên ADC = 90◦ + B 2 = 90◦ + β 2 (góc này dựng được bằng thước và compa). 4ADC xác định ngay vì biết một cạnh và hai góc kề với nó. Điểm B thuộc tia đối của tia DC.
Mặt khác do BA = BD nên B thuộc đường trung trực của AD. B D C A d 2 Cách dựng. Dựng 4ADC có D = 90◦ + β 2, DC = d, Cb = α. Dựng đường trung trực của AD, cắt tia đối của tia DC ở B. Nối AB. 3 Chứng minh. B thuộc đường trung trực của AD nên AB = BD. Do đó BC − AB = BC − BD = DC = d. 4ABD cân mà ADC = 90◦ + β 2 nên ADB = 90◦ − β 2, do đó B = β, còn Cb = α. 4 Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình nếu dựng được 4ADC, tức là nếu 90◦ + β 2 + α < 180◦ ⇔ α < 90◦ − β 2. BÀI 5. Dựng tam giác ABC, biết: 1 Ab = α, BC = a, AC − AB = d; 2 B − Cb = α, BC = a, AC − AB = d. LỜI GIẢI. 1 Trên AC lấh điểm D sao cho AD = AB thì DC = d, BDC = 90◦ + α 2. Dựng 4DBC, rồi dựng điểm A. 2 Trên AC lấy điểm D sao cho AD = AB thì DC = AC−AB = d. Tính DBC = ADB − Cb = 90◦ − Ab 2 − Cb = B 2 + Cb 2 − Cb = B − Cb 2 = α 2. Dựng 4BDC, rồi dựng điểm A. Chú ý rằng có thể dựng được hai điểm D nhưng chỉ chọn D sao cho BDC > 90◦.