VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tỉ số thể tích khối lăng trụ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Bài toán tỉ số thể tích khối lăng trụ:
Dạng 2: Tỉ số thể tích khối lăng trụ Ví dụ 1: Gọi V là thể tích của hình lập phương 1 ABCD A B C D V là thể tích tứ diện A ABD. Hệ thức nào sau đây đúng? Lời giải Ta có V S AA ABCD và 1 V S AA ∆ABD. Mà 1 1 6 2 ABD ABCD V S S. Suy ra 1 V V 6. Chọn A. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. Gọi D là trung điểm của AC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện B BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho.
Lời giải: Ta có V S BB ABC A B C ABC và 1 3 V S BB B BAD BAD. Mà B BAD BAD ABC ABC A B C V SS k V. Chọn B. Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC A B C. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.
Lời giải Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của BC 2 3 AG AE. Qua G kẻ đường thẳng d BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N. 2 3 AM AN AG AB AC AE (định lí Talet) (1). Ta có V S AA ABC A B C ABC ∆ và 1 V S AA A AMN ∆AMN (2). Từ (1) và (2) ⇒ V A AMN ABC A B C BMNC A B C. Vậy tỉ số cần tìm là 4 23 4 27 27 23. Chọn B. Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC 2 2. Biết AC′ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60° và AC′ = 4. Tính thể tích của khối đa diện ABCCB.
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC). Suy ra HC′ là hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABC). Do đó (AC ABC AC HC AHC). Tam giác AHC có AH AC AC H sin 2 3. Diện tích tam giác 2 4 2 ABC AC S. Suy ra 83 V S AH ABC A B C ABC. Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AC AB AD sao cho AM AC AN AB AP AD. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V.
Lời giải: Ta có D DAC B BAC. Suy ra 3 AB D C. Từ gia thiết, ta có AB AC AD AN AM AP 3 A NPM A B D C. Chọn A. Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng 1 3 của khối lăng trụ tam giác. Ví dụ 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 30°.
Điểm M nằm trên cạnh AA′. Biết cạnh AB a 3, thể tích khối đa diện MBCCB bằng? Lời giải Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC A B C. Do 3 3 M BCB C A BCC B A ABC. Dựng AH BC mà AA BC BC A HA AB a A BC ABC A HA AH. Vậy thể tích cần tính là 3 3 2 3 4 M BCC B V a V. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC A B C có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA BB CC sao cho 1 2 AM BN CP AA BB CC. Tính thể tích của khối đa diện ABC MNP.
Công thức giải nhanh 3 ABC MNP mn p V V với AM BN CP mnp AA BB CC. Áp dụng với: 23 3 mn p ta được 11 18 V V ABC MNP. Chọn D. Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB′ và P thuộc cạnh DD′sao cho 1 4 DP DD. Mặt phẳng (AMP) cắt CC′ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng? Lời giải Áp dụng công thức tính nhanh, ta được. Chọn B. Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D. Gọi M là điểm thuộc CC′ thỏa mãn CC CM 4. Mặt phẳng (ABM′) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V1 và V2.
Gọi V1 là phần thể tích có chứa điểm B. Tính tỉ số 1 2 V k V. Trong mặt phẳng (CDD’C’) kẻ MN C D. Suy ra 1 4 CN CD và V1 là khối đa diện ABB NCM. Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó V ABB NCM ABB CM MACN. Chọn C. Nhận xét: Ta có 1 1 4 4 V V MACN C ADC vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần. Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a. Gọi M là trung điểm của A B N là trung điểm của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN.