Tính thể tích khối lăng trụ đứng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính thể tích khối lăng trụ đứng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính thể tích khối lăng trụ đứng:
Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là? Lời giải Diện tích đáy của lăng trụ là 2 3 4 ABC a S. Dựng AH BC có BC AA BC A HA ⇒ Do đó: A BC ABC A HA 60.
Ta có: 3 3 tan 60 2 2 ⇒ a a AH A H AH. Thể tích khối lăng trụ là: 3 3 8 ABC a V S AA Chọn C. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng A C tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là? Lời giải Dựng AH BC ⇒ H là trung điểm của B C.
Mặt khác A H BB A H BCC B. Khi đó 30 A C BCC B A CH. Ta có: 3 sin 30 3 2 a AC AH AC a. Suy ra 2 2 AA A C AC a 2. Thể tích khối lăng trụ là: 4 4 ABC a a V S AA a. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân tại A có AB AC a. Biết diện tích tam giác A BC bằng 2 3 2 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là?
Lời giải Diện tích đáy của lăng trụ là 2 2 ABC a S. Dựng AH BC có BC AA BC A HA BC A H. Mặt khác 2 3 2 ABC S BC AB AC a A H a BC. Do 2 2 BC a AH. Thể tích khối lăng trụ là: 3 2 ABC a V S AA. Chọn D. Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a BAC 120 mặt phẳng AB C tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải Gọi M là trung điểm của B C Khi đó BC AM B C A MA A MA 60 B C AA. Ta có: 2 22 2 BC a a 2 2 cos120 3a BC a 3 2 3 13 3 2 sin120 24 8 ABC ABC a a S a V S AA. Chọn A. Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân tại A có AB AC a 3. Biết rằng AA a 3 và mặt phẳng (ABC′) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là?
Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM BC. Mặt khác BC AA BC AA M. Do đó A MA 60. Khi đó AA AM tan 60 2 2 AM a BM AB AM a2 2. Khi đó 1 2 2 ABC S BC AM BM AM a. Do đó 2 3 2 2 6 V AA S a a a ABC A B C. Chọn C. Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB a BC a 3. Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng BM′ tạo với đáy một góc 45. Thể tích khối lăng trụ đã cho là?
Lời giải: Ta có: 2 2 AC AB BC a 2. Do vậy 2 AC BM a (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông). Lại có: 2 1 3 2 ABC a S AB AC. Mặt khác: (B M ABC B MB) 45. Suy ra BB BM a tan 45. Vậy 3 3 V 2 ABC a BB S. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có tam giác ABC vuông tại B có BC a 3. Gọi M là trung điểm của A C và I là giao điểm của A C và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ABC bằng 2a và AB a 5. Thể tích khối lăng trụ đã cho là?
Lời giải Do AM AC nên 1 3 IA MA A C. Do đó 3 d A ABC I ABC a AA. Mặt khác 2 2 AB A B AA a 4. Do đó 3 3 18 2 ABC A B C ABC a a V AA S a a. Chọn D. Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB a AC a 5 12. Biết rằng mặt phẳng (A BC) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C.
Lời giải Dựng AH BC. Mặt khác AA BC. Do đó (A HA BC). Khi đó (A BC ABC A HA). Mặt khác 2 2 AB AC AH a AB AC. Suy ra 60 3 tan 13 AA AH A HA a. Vậy 3 1800 3 13 ABC a V AA S. Chọn D. Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác ABC có BAC AB a 60 3 và AC a 4. Gọi M là trung điểm của B C biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng (BAC) bằng 3 15 10 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là?
Lời giải: Ta có: 1 2 sin 3 3 2 ABC S AB AC BAC a. Dựng BE AC BF B E. Khi đó BC B B BC BE. Suy ra BC BF BF ⇒ (BAC). Do vậy 3 3 d (BAC) sin 2 a M BF BE AB A. Mặt khác 3 27 BB a V BB S a ABC A B C ABC BF BB BE. Chọn D. Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC′) và ABC bằng 60° (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B ACC A bằng?