Tính thể tích khối lăng trụ xiên

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính thể tích khối lăng trụ xiên, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính thể tích khối lăng trụ xiên:
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân AC BC a 3 hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABBA) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là? Lời giải Dựng CI AB I ⇒ là trung điểm của AB. Ta có: (B GI AB B IG) ⇒ 60. Lại có: 1 32 2 a a CI AB GI ⇒ 6 tan 60 2 a ⇒ B G GI 69 9 6 22 4 ABC A B C ABC a aa V BGS. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCCB) và mặt phẳng đáy bằng 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là? Lời giải: Kẻ HK BC BC B HK B KH ⇒ 60. Ta có: 3 3 sin 60 tan 60 4 4 a a HK HB 4 16 ABC A B C ABC. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) là trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa đường thẳng AA′ và mặt phẳng đáy (ABC) bằng 30°.
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: Lời giải Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC. Ta có: 323 a a AM AH AM. Khi đó: 2 3 tan 30 3 4 ABC a a A H HA. Do vậy: 12 ABC A B C ABC a V S AH. Chọn D. Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 4a. Hình chiếu của A′ trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB HA 3. Góc tạo bởi đường thẳng AC′ và mặt đáy bằng 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là?
Lời giải Ta có: HB a HA a 3. Gọi E là trung điểm của AB. Ta có: CE a 2 ⇒ CH HA AC HA AC a 2 cos 60 13. Hoặc 2 2 CH CE HE a 13 13 2 tan 30 3 ABC. Khi đó 3 4 13 V S AH a ABC A B C ABC. Chọn A. Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C có AC BC a 2 hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với trung điểm của AB. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và AB bằng?
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là? Lời giải Gọi H là trung điểm của AB CH a 2. Khi đó ta có: CH AB AB A HC. Dựng HK A C d A C AB HK. Mặt khác 2 2 111 AH a2 HK AH HC. Do vậy 3 4 V AHS a ABC A B C. Chọn C. Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, tam giác C MC cân tại C′ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng AC′ tạo với đáy góc 60°. Thể tích khối lăng trụ là?
Lời giải: Ta có: 2 3 3 2 4 ABC a a CM S. Gọi H là trung điểm của CM suy ra C H CM. Mặt khác có (C MC ABC C H ABC) AC ABC C AH. Lại có 2 2 7 a AH MH AM. Suy ra 21 tan 60 a C H AH. Vậy 3 3 7 16 ABC A B C ABC a V CHS. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC A B C có tam giác ABC vuông tại B, có AB a AC a 2. Tam giác A AC cân tại A′ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (AAC′) tạo với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là?
Gọi H là trung điểm của AC khi đó AH AC. Mặt khác (A AC ABC). Do đó A H ABC. Dựng HK BC 22 4 ABC A B C ABC aa a V AHS. Chọn D. Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB BC a 2. Biết rằng hình chiếu của A′ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết 2 14 3 a A C. Thể tích khối lăng trụ đã cho là? Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB ta có: 2 2 CM MB CB a 5. Do vậy 2 ABC A B C ABC a V AHS a a. Chọn B.
Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác ABC đều cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ xuống mặt đáy thuộc cạnh AC sao cho HC HA 2. Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB A) bằng 9 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là? Lời giải Dựng HK AC HF A E HF ABA a d C ABA d H ABA HF. Lại có: 3 sin 60 2 sin 60 3 2 a HE HA a a HF. Mặt khác: 2 11 1 AH a3 HE A H HF. Vậy 2 3 4 ABC A B C ABC a V AHS a a. Chọn D.