VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng:
Dạng 4: Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng Phương pháp giải: Xét sự tương giao của mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R và đường thẳng ∆ ta có: ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S dI R) ⇔ ∆ cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A, B khi dI R khi đó hình chiếu vuông góc của điểm I trên ∆ là trung điểm của AB và 2 2 2 Δ 2 AB d I R.
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I (2;3;-1) cắt đường thẳng 1 2 5 15 2 x t dy t z t tại A, B với AB = 16. Lời giải: Đường thẳng d đi qua điểm M (1;-5;-15) và có vtcp là ud 2 1 2 1 8 14 IM. Khi đó 2 30 30 15 2 1 2 2 d d IM u AB d Id R d. Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 22 xyz 2 3 1 289.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng 1 2 x t d y tPxyz z. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) tại M (1;0;-2) và cắt d tại A, B sao cho AB 2 2. Lời giải: Đường thẳng d đi qua E (1;-2;-2) và có vectơ chỉ phương ud (1;-1;0). Gọi I là tâm mặt cầu suy ra đường thẳng x t IM P IM y t z t. Khi đó gọi 2 AB I t d I d R d I d IM. Trong đó IE u ttt t t d Id u và 2 2 IM t 3.
Suy ra 2 2 3 4 2 2 3 1 0 t t I R IM. Phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2 xy z 1 33. Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 12 1 x yz d và điểm I (2;1;0). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông. Lời giải: Ta có: ud (1;2;-1) gọi H là trung điểm của AB ta có: IH AB.
Khi đó H t t IH t t t IH u ⇒ t H 1 0 2 0. Tam giác IAB vuông cân tại I nên ta có: R IH 2 2 4 1 10. Do đó phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: 2 2 x yz 2 1 10. Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 31 12 1 xyz d và mặt cầu 2 22 Sx y z x y 24 0. Viết phương trình đường thẳng Δ qua M (1;-1;0) cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu (S) tại A, B sao cho AB = 4.
Lời giải: Ta có: I R. Gọi N t t. Ta có: u MN t t Δ. Mặt khác 6 16 18 IM MN t d I t t t. Với 1 3 2 Δ 1 x t t y z t là đường thẳng cần tìm. Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Px y z): 2 2 10 0 và 2 đường thẳng 1 2 1 Δ 111 x yz và 2 2 3 Δ 114 x yz. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Δ1 đồng thời tiếp xúc với Δ2 và (P).
Lời giải: Gọi 1 I tt 2 t 1 Δ là tâm của mặt cầu. Δ2 xác định qua Δ2 M u 2 0 3. Ta có: dI dI P (Δ 2). Khi đó 2 2 2 1 10 10 3 tt t t dI P. Cho 10 3 3 4 7 13 7 10 t I. Vậy phương trình mặt cầu 22 2 13 7 10 333 Sx y z. Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-4;5). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông.
Lời giải: Gọi H (0;0;5) là hình chiếu vuông góc của A xuống trục Oz. Khi đó tam giác OHB vuông cân tại H suy ra 2 2 10 2 R OH R OH. Suy ra 2 22 Sx y z 2 4 5 40. Chọn A. Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 11 22 1 x yz d và điểm I (2;-1;1). Viết phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d ⇒ Ht t t (2 2 1). Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ud (2;2;-1). Sử dụng 3 d IH u t H IH. Hoặc ta có 0 2 d d IM u IH d I d u. Tam giác IAB vuông cân tại I nên R IA IH. Suy ra phương trình mặt cầu là: 2 22 x yz 2 1 18. Chọn C. Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng 5 2 xt x t dy t y t zt z t và mặt phẳng (Px yz): 3 10. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả Δ và (P). Biết hoành độ điểm I là số nguyên. Tung độ điểm I là?