Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng:
Dạng 3: Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng Phương pháp giải: Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r khi dI P R. Khi đó 2 22 d IP r R. Tâm đường tròn giao tuyến của (S) và (P) và hình chiếu vuông góc xủa điểm I trên mặt phẳng (P). Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho I (1;2;-2) và (P x yz) 2 2 5 0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho giao tuyến của (S) và (P) là đường tròn có chu vi 8π.
Lời giải: Do chu vi đường tròn giao tuyến C rrr ⇒ 28 4 π. Ta có: 2425 3 441 dI P. Bán kính mặt cầu là 2 2 22 R rd 43 5. Phương trình mặt cầu là: 2 22 Sx y z 1 2 2 25. Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 10 xyz và mặt cầu 2 2 2 Sx y z : 1 29. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 6π.
Lời giải: Mặt cầu 2 2 2 Sx y z 1 29 có tâm I (1;0;-2) bán kính R = 3. Do diện tích đường tròn giao tuyến 2 2 S r r dI P R r π π 6 6 3. Mặt phẳng (P) song song với (α) ⇒ (PxyzD). Ta có: 1 2 0 3 6 D D dI P D. Do đó (Pxyz): 0 hoặc xyz 6 0. Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 3 21 21 2 xyz d và mặt cầu 2 22 Sx y z x y z 2 2 4 19 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với d cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8π.
Lời giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1;-1;2), bán kính R = 5. Do C rr 2 4 π do vậy mặt phẳng qua M vuông góc với d cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 4. VTCP của d là ud (2;1;-2) khi đó Md t t 3 2 2 1 2 t. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2 32 2 2 12 0 x ty t z t. Hay 2 2 9 60 xy z t. Ta có: 2 2 9 9 0 33 3 2 t t dI P R r. Từ đó suy ra M M (3;2;1), (1;0;5) là các điểm cần tìm. Ví dụ 4: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình 222 Sx y z 3 5 74 và mặt phẳng (Pxyz): 40. Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C). Tính chu vi đường tròn (C).
Lời giải: Mặt cầu (S) có tâm I (−3;5;7) và bán kính R = 2. Khoảng cách từ tâm I đến (P) là: 3574 3 3 d. Bán kính đường tròn (C) là: 2 2 r Rd 431. Chu vi đường tròn (C) là: C r 2 2 π π. Chọn C. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 22 Sx y z x y z 2 4 6 20. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oy và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng 8π.
Lời giải: Ta có: 2 22 Sx y z 1 2 2 16 ⇒ (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R = 4. Bán kính của đường tròn là: 4 2 C r R π ⇒ đường tròn đi qua tâm của mặt cầu (S). Vtcp của Oy là u (0;1;0) điểm A Oy (0;1;0). Ta có: IA n IA u (1;1;3); (3;0;1). Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận n làm vtpt suy ra phương trình mặt phẳng (α) là: (α) 3 0 x z. Chọn C.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng 3 Δ 112 xy z. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 2 2 và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ tâm I. Lời giải Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng là (Oxz) là 2 2 d Rr 84 2. Điểm I d suy ra I tt t d I P t. Chọn A.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S (0;0;1). Hai điểm Mm N n thay đổi sao cho m n 1 và m n 0 0. Biết rằng mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Bán kính mặt cầu đó bằng: R = 2. Lời giải Phương trình mặt phẳng (SMN) theo đoạn chắn là: 1 x y z m n. Gọi Px y z 0 00. Ta có: m n d d P SMN. Lại có 1 1 x y z m n d mn. Ta chọn m n x mn y d z mn với mọi m n 0 0. Do đó mặt cầu cần tìm là mặt cầu tâm P0 (1;1;0) bán kính R = 1. Chọn C.