VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Ứng dụng tích phân để so sánh các giá trị của hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Ứng dụng tích phân để so sánh các giá trị của hàm số:
Dạng 2: So sánh các giá trị của hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ abc thỏa mãn abc như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. fa fb fc. B. fa fc fb. C. fc fb fa. D. fc fa fb. Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có BBT của hàm số y = f(x) như sau: x −∞ a b c +∞ f x + 0 − 0 + 0 − f x f a f c −∞ f b −∞. Lại có: 1 b b a a S f x dx f x dx f a f b tương tự S fc fb 2.
Dựa vào hình vẽ ta thấy S S fa fb fc fb fa fc 1 2. Chọn B. Ví dụ 2: Cho y = f(x) có đồ thị y = f'(x) như hình. Đặt gx f x x cos. Mệnh đề nào đúng? Lời giải: Ta có g x f x x g x dx f x x dx sin sin. Bảng biến thiên của hàm số y gx x −∞ 0 3 4 π π +∞ g x + 0 − 0 + 0 − g x g (0) g (π) −∞ 3 4 g π −∞. Đặt 3 3 4 4 1 0 0 3 sin 0 4 S x f x g x dx g g π π.
Dựa vào hình vẽ ta có SS g g 1 2 ⇒ π (0). Do đó 3 0 4 g gg π. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình bên. Đặt 2 gx f x x 2 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Lời giải: Ta có gx f x x f x 12 1 2 g x ⇒ dx f x x dx. Đường thẳng dy x 1 đi qua các điểm. Với x 3 ta có: x f x gx 1. Ta có BBT của hàm số g x x −∞ −3 1 3 +∞ g x + 0 − 0 + 0 − g x g (−3) g (3) −∞ g (1) −∞.
Đặt 1 3 1 2 3 1 S x f x xS f x x x 1. Dựa vào hình vẽ ta có 1 3 1 2 3 1 d d 2 2 gx gx SS x x. Do đó g g 3 1 3 1 3 3. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số f x. Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình bên. Đặt 2 hx f x x 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Lời giải: Ta có: 2 d d 2 h x hx f x f x. Đường thẳng y x đi qua các điểm trên hình vẽ. Với x 2 ta có: hx x suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;-2).
Ta có bảng biến thiên của hàm số h x như sau: x −∞ −2 2 4 +∞ h x − 0 + 0 − 0 + h x +∞ h(2) +∞ h(−2) h(4). Đặt 2 4 1 2 2 2 S f x x xS x f x x. Dựa vào hình vẽ ta có: 2 4 1 2 2 2 d d 2 2 hx hx SS x x. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên. Đặt 2 6 M fx max m fx min TMm. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y fx ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f(x) x −2 0 2 5 6 y + 0 − 0 + 0 − y.
Ta đặt: 0 5 1 2 2 2 fxxS f f fxxS f f. Dựa vào đồ thị ta có: SS f f Mf 2 1 50 5 (loại A và D). Ta cần so sánh f (−2) và f (6). Tương tự ta có: 0 5 3 4 2 6 fxx f f S fxx f f S d 0 2 d 5 6. Quan sát đồ thị suy ra SS f f 3 4 0 2 5 6 6 2 5 00. Do đó f f mf 2 6 2. Chọn B.