Bài toán thực tế ứng dụng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán thực tế ứng dụng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán thực tế ứng dụng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG MIN – MAX Ví dụ 1: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức 2 0 28 0 24 4 t C t t t. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất? A. 24 giờ. B. 4 giờ. C. 2 giờ. D. 1 giờ. Lời giải Đáp án: Chọn C Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của t thuộc (0;24) để 2 0 28 4t C t t đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm số 2 0 28 4 t C t trên (0;24), có 2 2 0 28 4 t C t. Phương trình 2 0 24 0 28 1 12 0 t C t t. Tính C(2) 0,07. Suy ra (0;24) max (2) 0,07 Ct C. Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất.
Ví dụ 2: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức 2 3 Nt t t 1000 30 (0 30). Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất? A. 10 phút. B. 20 phút. C. 30 phút. D. 15 phút. Lời giải Đáp án: Chọn B Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của t [0;30] để 2 3 Nt t t 1000 30 đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm số 2 3 Nt t t 1000 30 trên [0;3] có 2 Nt t t 60 3. Phương trình 2 0 30 t N t t. Tính (0) N(30) 1000 (20) 5000 N N. Suy ra [0;30] max (20) 5000 Nt N. Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất. Ví dụ 3: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m2 để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất? A. 10m x 10m. B. 4m x 25m. C. 5m x 20m. D. 25m x 8m.
Lời giải Đáp án: Chọn A Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật là 100 S xy y 100 x Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là 200 Cxyx 22 2 x. Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có min 200 200 2 2 2 40 40 x C x x. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 200 2 2x x xy 100 10 10 x. Ví dụ 4: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là Lời giải Đáp án: Chọn B Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật Thể tích khối hộp chữ nhật là 2 2 8 V Bh x h h 8 x. Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là 2 2 32 422 tp xq d S S S hx x. Ta có 2 2 2 3 min 32 16 16 16 16 2 2 xx x S 3 2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 3 16 2 82 x x.
Ví dụ 5: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 4. B. x = 3. C. x = 2. D. x = 1. Lời giải Đáp án: Chọn C Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy là hình vuông cạnh 12 2 x Thể tích khối hộp chữ nhật là V Bh x. Cách 1. Khảo sát hàm số fx x trên (0;6) (0;6) max. Cách 2. Ta có 27 xx. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 12 2 6 12 2 x x. Ví dụ 6: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất (diện tích toàn phần của lon là nhỏ nhất). Bán kính đáy vỏ lon là bao nhiêu khi ta muốn có thể tích lon là 314 cm3?
Lời giải Đáp án: Chọn D Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của lon sữa Thể tích của lon sữa hình trụ là 2 2 314 V Rh h 314 R π π. Diện tích nguyên liệu làm vỏ hộp (tp S hình trụ) là 2 2 628 S Rh R R tp. Dấu bằng xảy ra khi 2 3 3 314 314 314 2 2 2 RRR. Ví dụ 7: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến vị trí C một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là BC km =1 , khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi km trên điện đặt ngầm dưới biển mất 5000 USD. Hỏi điểm S phải cách A bao nhiên km để chi phí mắc đường dây điện ít nhất?
Lời giải Đáp án: Chọn C Đặt SA x km x ta có SA SB AB SB x km. Tam giác SBC vuông tại B, có 2 2 2 2 SC SB BC 8 17 x x. Do đó, số tiền để mắc dây điện trên đất liền là T1 = 3000 x SA = 3000x Số tiền để mắc dây điện ngầm dưới biển là 2 T 5000 x 2 SC x x. Suy ra tổng số tiền mắc dây điện là 2 1 2 TTT x x 3000 5000 8 17. Xét hàm số 2 fx x 3 5 8 17 trên [0;4], có 2 5 20 8 17 x f x. Phương trình 2 13 0 3 8 17 20 5 4 fx x. Dựa vào bảng biến thiên, ta được [0;4] 13 min 16 4 fx f. Vậy số tiền ít nhất là T 100 16 16000 USD. Dấu bằng xảy ra khi 13 4 x. Ví dụ 8: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số a r bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Đáp án: Chọn B Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 60). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là 60 − x Chu vi đường tròn: 2 2 x π rx r Diện tích hình tròn: 2 2 1 4 x S r π. Diện tích hình vuông: Tổng diện tích hai hình: 4 4 16 x x π π. Đạo hàm: Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại 60 4 x π. Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại 60 4. Ví dụ 9: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là 3 x x 2 (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 2 326 27 y y (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày).