Bài toán giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số chứa tham số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số chứa tham số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số chứa tham số:
DẠNG 2: BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 2 fx x m 4 có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10. A. m = 3. B. m = −6. C. m = −7. D. m = −8. Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số 2 fx x x m 4 trên [-1;3] có fx x 2 4. Phương trình 1 3 0 2 2 40 x f x x. Tính f mf mf m (-1) 5 (2) 4 (3) 3. Suy ra [-1;3] max (2) 4 10 6 fx f m m. Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số 3 2 fx x a 3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0. A. a = 2. B. a = 6. C. a = 0. D. a = 4. Lời giải Đáp án: Chọn D. Xét hàm số 3 2 fx x x a 3 trên [-1;1] có 2 fx x x 3 6. Phương trình 2 1 1 0 0 3 60 x f x x. Tính f af af a (-1) 2 (0) (1) 4. Suy ra [-1;1] min (1) 4 0 4 fx f a a.
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 22 y x mx m m x (-1). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng –6. Tính tổng các phần tử của S. Lời giải Đáp án: Chọn A Ta có 2 2 f x x mx m m x 3 2. Mà 2 ∆ 2 3 3 0 mm m. Suy ra y x 0 [-1;1]. Do đó hàm số f x nghịch biến trên [-1;1] (-1;1) min (1) 6 y y. Lại có 22 2 2 y mm m. Vậy ∑m = 0. Ví dụ 4: Biết hàm số 3 3 3 y xm xn x với m n là tham số đồng biến trên khoảng −∞ +∞. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P m n mn 4 bằng? Lời giải: Đáp án: Chọn D. Ta có 2 2 y x m x n x x m nx m n. Hàm số đã cho đồng biến trên 2 22 ∆ y 0 x m n m n mn 0 0.
Ví dụ 5: Cho hàm số 2 8 x m f x x với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng –2. A. m = −4. B. m = 5. C. m = 4. D. m = 1. Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số 2 8 x m f x x trên [0;3], có 2 2 8 0 [0;3] (-8) m f x x. Suy ra f x là hàm số đồng biến trên 2 [0;3] (0;3) min (0) 8 m fx f. Theo bài ta, ta có 2 2 max [0;3] min 2 2 16 4 8 m f x m m. Ví dụ 6: Cho hàm số 1 x m y x (với m là tham số thực) thỏa mãn [1;2] [1;2] 16 min max 3 y y. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số 1 x m y x trên [1;2], có 2 1 [1;2] (-1) m fx x x.
Do đó [1;2] [1;2] 1 2 16 min max (1) (2) 5 2 33 m m y yf f m. Ví dụ 7: Cho hàm số 2 x m f x x (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [-10;10] thỏa mãn [0;1] [0;1] max 2min y y? A. 5. B. 11. C. 16. D. 6. Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số 2 x m f x x trên [0;1]. Có 2 2 [0;1] (-2) m fx x x. TH1. Với m − 2 suy ra f x fx 0 ⇒ là hàm số đồng biến trên (0;1). Do đó [0;1] [0;1] 1 max (1) min (0) 3 2 m m fx f fx f. Theo bài ra, ta có 1 1 2 13 3 2 2 m m m mm. Kết hợp với m [-10;10] và m có 11 giá trị nguyên m. TH2. Với m − 2 suy ra f x fx 0 ⇒ là hàm số nghịch biến trên (0;1). Do đó [0;1] [0;1] 1 max (0) min (1) 2 3 m m fx f fx f. Theo bài ra ta có 1 2 3 4 4 4 2 3 m m m mm (vô lý). Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 x m 2 y x m trên đoạn [0;4] bằng –1. A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải Đáp án: Chọn C Ta có 2 2 2 2 m m mm f x x m. Với 4 [0;4] 0 m x m m ta được f x là hàm số đồng biến trên (0;4) Suy ra 2 [0;4] 2 max (4) 4 m fx f m. Theo bài ra, ta có 2 2 2 1 4 3 m m m m. Kết hợp điều kiện: 3 0 m m m là giá trị cần tìm. Ví dụ 9: Cho hàm số 3 y ax cx d a 0 có min (-2) fx f −∞. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;3] bằng? Lời giải Đáp án: Chọn B Ta có min (-2) lim a 0 x fx f f x −∞. Lại có 2 f x ax c 3 mà min (-2) 0 12a c 0 fx f f −∞. Do đó 3 3 f x ax cx d ax ax d 12. Xét hàm số 3 f x ax ax d 12 trên [1;3] có 2 f x ax a 3 12.
Phương trình 2 2 13 13 0 2 3 12 0 4 0 x x. Tính f d af d af d a (1) 11 (2) 16 (3) 9. Vậy [1;3] max 16 fx d a. Ví dụ 10: Cho hàm số 4 2 f x ax bx c a 0 có min (-1) fx f −∞. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên 1 2 2 bằng? Lời giải Đáp án: Chọn D Ta có min (-1) lim 0 x fx f fx a −∞ −∞. Lại có 3 f x ax bx 4 2 mà min 0 b 2a fx f f −∞. Do đó 42 4 2 f x ax bx c ax ax c 2. Xét hàm số 4 2 f x ax ax c 2 trên 1 2 2 có 3 f x ax ax 4 4. Phương trình 3 2 1 1 2 2 f x x. Tính 1 7 (1) (2) 8 2 2 16 a f c f c af a. Vậy 1 2 2 min (1) fx f c a. Ví dụ 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 yx xm 2 trên đoạn [0;2] bằng 5?