Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 yx x 3 5 trên đoạn [0;2] là A. 0. B. 3. C. 5. D. 7. Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số 3 fx x 3 5 trên [0;2] có 2 fx x 3 3. Phương trình 2 0 2 0 1 3 30 x f x x. Tính f f 0 5 1 3. Vậy [0;2] min (1) 3 fx f. Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 fx x x 2 1 trên đoạn [0;2] là A. 64. B. 1. C. 0. D. 9. Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số 4 2 fx x 2 1 trên [0;2] có 3 fx 4 4. Phương trình 3 0 2 0 0 4 40 1 x x f x. Tính fff (0) 1 (1) 0 (2) 9. Vậy [0;2] max (2) 9 fx.
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 1 x f x trên đoạn [2;4] là A. 7. B. 6. C. 19 3 D. 13. 3 Lời giải Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: u u v uv. Cách 1: Xét hàm số 2 3 1 x f x x trên [2;4], có 2 2 2 3 (1) x x f x. Phương trình 2 2 4 x f x. Tính 19 (2) 7 (3) 6 (4) 3 fff. Vậy [2;4] min (3) 6 fx f. Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7) Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7 Bước 2: Nhập 2 3 1 X f X X. Sau đó ấn phím = (nếu có g X thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập 2 4 0 2 Star End Step (Chú ý: Thường ta chọn 10 End Start Step) Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN: Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy [2;4] min (3) 6 fx f.
Ví dụ 4: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 1 3 x f x x trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M + m bằng A. 0. B. –4. C. –2. D. 1. Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số 3 1 3 x f x x trên [0;2] có 2 8 0 f x x. Suy ra f x là hàm số nghịch biến trên (0;2) min (2) 5 1 max (0) 3 fx f fx f. Vậy 1 3 3 5 3 2 3 M M m Mm. Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y x xx 3 2 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm. Điều kiện xác định: 2 32 0 3 1. Xét hàm số 2 fx 3 2 trên [-3;1], có 2 2 x x f x.
Phương trình 3 1 0 1 f x x. Tính f (3) 0 (1) 2. Vậy [3;1] max f x f (1) 2. Ví dụ 6: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 yx x 1. Giá trị của M – 2m bằng? Lời giải Đáp án: Chọn D Điều kiện xác định: 2 1 0 1 1 x x. Xét hàm số 2 fx x trên [-1;1], có 2 2 x x fx x. Phương trình 2 1 1 2 2 f x x. Vậy [-1;1] 1 min 2 1 13 2 2 1 2 22 max 2 m fx M m. Ví dụ 7: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yxx 1 1. Giá trị của 2 M m 2 bằng? Lời giải Đáp án: Chọn A Điều kiện xác định: Xét hàm số fx x 1 1 trên [-1;1] có 1 1 21 21 f x.
Phương trình f x x. Tính f (1) (1) 2 (0) 2. Vậy [-1;1] 2 min 2 2 max 2 m fx. Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 yx 1 3 2 43 là? Lời giải: Đáp án: Chọn C Điều kiện xác định: 1 0 1 3 3 0. Đặt tx x 13, ta có 1 1 0 2 2 13 t t x. Tính t (1) (3) 2 (2) 2 2. Xét 2 ft t 2 trên [-2;2] 2 2 max 2 f t. Vậy [1;3] max 2 y. Ví dụ 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 9 1 2cos cos 3cos 2 2 y x là? Lời giải Đáp án: Chọn B Đặt t x cos [-1;1], khi đó 3 2 9 1 y ft. Xét hàm số 3 2 9 1 2 3 2 2 ft t trên [-1;1], có 2 ft t 8 9 3 0. Suy ra f t là hàm số đồng biến trên [-1;1] (-1;1) min (-1) 1 ft f.
Ví dụ 10: Giá trị lớn nhất của hàm số 3 y x x sin cos 2 sin 3 là Lời giải Đáp án: Chọn D Cần nhớ công thức lượng giác: 2 cos 2 1 2sin x x. Ta có 3 2 3 2 y x x sin 1 2sin sin 3 sin 2sin sin 4. Đặt t x sin [-1;1], khi đó 3 2 y ft t 2 4. Xét hàm số 3 2 ft t 2 4 trên [-1;1] có 2 ft t 3 4 1. Phương trình 2 3 t t f t. Tính 1 112 (-1) 0 (1) 4 3 27 f. Vậy max 112 27 y. Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 fx x x 4 5 trên đoạn [-6;6] A. 110. B. 9. C. 55. D. 7. Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số 2 gx x 4 5 liên tục trên đoạn [-6;6]. Đạo hàm gx x 2 4 0 2 [-6;6]. Nhận xét: bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.