VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm điểm trên đồ thị liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tìm điểm trên đồ thị liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách:
Dạng 2: Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách. Tìm 2 điểm đối xứng: Gọi Aaf a và Bbf b (a b) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x). Hai điểm A B, đối xứng qua 2 2 α αβ ⇔ β a b I fa fb. Hai điểm A B đối xứng qua trục tung a b fa fb. Tìm 2 điểm A B, thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài AB ngắn nhất Bài toán: Cho hàm số ax b y C cx d. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) sao cho AB min. Cách giải: Ta phân tích: a k y c cx d trong đó d y c là tiệm cận đứng của (C).
Gọi Ax y Bx y lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ta có: 1 2 d x x c. Đặt 1 2 12 12 2 a k y d d c c x x AB x x y y c c a k. Do đó 2 1 8 4 α β k k AB c c. Dấu bằng xảy ra 1 1 α = β αβ k c. Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 yx x x C 3 43. a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. b) Tìm tọa độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục Oy. Lời giải: a) Gọi A ab và B ab là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O(0;0). Vì A B đều thuộc đồ thị (C) nên ta có: 3 43 3 43 ba a a 3 43 0 6 6 1 3. Vậy 2 điểm A B cần tìm là: A B 1 3 1 3 hoặc ngược lại.
b) Gọi A ab và B ab là 2 điểm đối xứng nhau qua trục Oy. Vì A B đều thuộc đồ thị (C) nên ta có: 3 43 ba a a 3 43 3 43 2 9 3 4 3 02 8 2 9. Vậy 2 điểm A B cần tìm là: A B 2 9 2 9 hoặc ngược lại. Ví dụ 2: Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm A B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số 3 2 2 x y x sao cho AB ngắn nhất. Lời giải: Ta có: 1 2 22 3 1 1 2 y x. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 1. Gọi Ax y Bx y 11 2 2 lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ta có: 1 2 x x. Đặt y a x a x b a b AB x x y y y b.
Ta có: 8 2 2 1 12 1 2 a b ab. Dấu “=” xảy ra 3 1 1 1 0 a b ab A B ab. Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số 3 yx x 3 2 hai điểm mà chúng đối xứng nhau qua tâm I (−1;3). Không tồn tại. Lời giải: Gọi 3 3 Aa a a Bb b b a b là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau qua điểm I (−1;3). Ta có: 1 3 2 3 22 6 3 2 ab x a b aa bb y a b ab. Vậy (0;2) và (−2;4) là cặp điểm cần tìm. Chọn A. Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm số 3 2 11 3 x y xx hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.
Lời giải: Gọi 3 a Aa a a và 3 2 11 b Bb b b a b là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối xứng nhau qua trục tung. Khi đó: 3 3 33 a b aa aa bb aa aa. Với a b AB 0 0 (loại). Với 16 abAB. Chọn B. Ví dụ 5: Tìm trên đồ thị hàm số 2 yx x 4 2 hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với nhau qua trục tung. A. Không tồn tại. B. A(2;2) và B(−2;2). Lời giải Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là A B B A B Ax y x x. Khi đó ta có 2 2 4 2 4 24 4. Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 3 6 1 x C y x các điểm A B để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng: Lời giải Ta có: 3 6 3 13 x x y. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = −1. Gọi Ax y Bx y lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ta có: 1 2 x x. Đặt 0 3 3 y a x a x b a b AB x x. Ta có: 4 6 4 96 1 2 a b ab AB ab AB ab a b a b ab. Dấu bằng xảy ra 9 3 a bab. Chọn C.