Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác:
Phương pháp giải. Giải bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác thường phải sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dưới đây: Giả sử (a): A + B + C + D = 0 và (8): A’c + B’g + Cc + D = 0 có các véctơ pháp tuyến tương ứng là ma = (A; B; C) và I = (A’; B’; B). Khi đó, góc C giữa hai mặt phẳng (a) và (3). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) (với abc + 0).
Ví dụ 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): 2x – y + 3z – 5 = 0 và A(3; -2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với (a). (P) || (a) = (2; -1; 3) là véctơ pháp tuyến của (P). Suy ra phương trình của (P) là 2(x – 3) – 1(y + 2) + 3(z – 1) = 1 # 2x – y + 3x – 11 = 0). Ví dụ 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và (a): z – 2y + 3z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (8) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (a). Vậy phương trình của (3): 1(2 – 3) + 2(x – 1) + 1(x + 1)= 0 + 2 + 2y + x – 4 = 0.
Ví dụ 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (a) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : 45c + y + 2z = 0 một góc bằng 60°. Véctơ pháp tuyến của (P) là mp = (V5; 1; 2), véctơ đơn vị của Ox là i = (1; 0; 0). Giả sử ma = (a; b; c), a2 + b2 + 4c2 là véctơ pháp tuyến của (a). Vậy phương trình của (a): 3y + z = 0. Chọn b = 1, c = -3 = m = (0; 1; -3). Suy ra phương trình của (a): 4 – 32 = 0.
Ví dụ 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): 50 – 2y + 5x – 1 = 0 và (Q) : 2 – 4 – 8x + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (a) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 45°. (P) có véctơ pháp tuyến là m = (5; -2; 5). (Q) có véctơ pháp tuyến là mo = (1; -4; -8). Gọi a = (a; b; c), a2 + b^ + c^2 là véctơ phép tuyến của (a). (a) I (P) = 0 + 5a – 2b + 5c, x + 20y + 72 = 0. Ví dụ 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) và cắt trục Ox tại điểm B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M(2; -1; 4) và Song song với mặt phẳng (P): 3x – y + 2z = 0. (a) || (P) = P = (3; -1; 2) là véctơ pháp tuyến của (a). (a) đi qua M(2; -1; 4). Suy ra (a) : 3(x – 2) – 1(y + 1) + 2(2 – 4) = 0 + 3x – y + 2z – 15 = 0. Bài 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A(1; 1; -1), B(0; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (8): -x + x + 10 = 0. Ta có véctơ pháp tuyến của (8) là 8 = (-1; 0; 1) và AB = (4; 1; 2). a = AB, n3 = (1; –6; 1). (a) đi qua A(1; 1; -1) và nhận ra = (1; -6; 1) là véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình của (a): 1(x – 1) – 6(y – 1) + 1(2 + 1) = 1 # x – 6y + z + 6 = 0.
Bài 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng (a): 20 – 3 – 1 = 0, (B): 40 – 3x + z – 3 = 0 và tạo với mặt phẳng (Q): 0 – 2x + 2z + 1 = 0. Suy ra (P): 16(z – 0) + 5(x + 1)- 13(x – 1) = 0 + 16x + 5g – 13z +5 = 0. Bài 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-1; -1; 3), N(3; 1; 5) và mặt phẳng (Q). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (O) một góc nhỏ nhất. Vậy (P) : 0( + 1) + 1(x + 1)- 1(z – 3) = 0.
Bài 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) biết nó đi qua điểm G(-1; 2; -3) và cắt các trục Ox, Oy, 02 lần lượt tại các điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Do A, B,C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó mặt phẳng (P): C = 1 (*). a b c Do G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy phương trình (P): x = 1.