Tìm điểm trên đồ thị liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm điểm trên đồ thị liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm điểm trên đồ thị liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách:
Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách. Điểm M thuộc đồ thị hàm số y fx Mx fx. Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d M Ox f x. Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d M Oy x. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ax by c là: Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng 2 2 xx yy MN MN. Ví dụ 1: Cho hàm số: 21 y Cx. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y x bằng 2. Lời giải. Gọi 2 Ma C a. Khoảng cách từ M đến đường thẳng y x 22 1 2 22 12 a a a d a a. Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M (0;2) hoặc M (−2;0).
Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1. Gọi M là điểm nằm trên đồ thị (C) và H tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox và Oy. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích bằng 2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Tứ giác MHOK là hình chữ nhật. Ta có: S MH MK d M Ox d M Oy MHOK hoặc M (−2:1). Chọn C. Ví dụ 3: Cho hàm số 1 1 Cx. Có bao nhiêu điểm M C để khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ 21 y x bằng 35. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số 3 yx x 2 1. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1. A. M (1;0) hoặc M (−1;2). B. M (0;1) hoặc M (2; 1). C. M (1;0). D. M (2; 1). Lời giải Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 yx x 3 có đồ thị (C) và điểm K (1; 3). Biết điểm M trên (C) thỏa mãn và độ dài KM nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng OM. Giá trị nhỏ nhất của f x bằng 1. Dấu = xảy ra khi x M OM y x 1 1 2 2. Chọn D. Ví dụ 6: Cho hàm số 2 1. Tổng khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 2 3. B. 2. C. 4. D. 4 3. Lời giải. Hai đường tiệm cận của (C) là x = −1 và y = 2. Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng. Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng 1 2 3 3 1 2 1. Chọn A. Ví dụ 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 y x x 3 2. Ví dụ 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 1 mà khoảng cách từ M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C.
Ví dụ 9: Tìm trên đồ thị hàm số 2 11 y x những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị. Tiệm cận đứng: x = 1. Tiệm cận ngang y = 2 Chọn B. Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng d x aa cắt đồ thị hàm số 2 11y x tại một điểm duy nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu là tọa độ của điểm đó. Tìm 0y là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là: x = 1. Ví dụ 11: Cho hàm số x. Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tích khoảng cách từ điểm M đến trục Ox và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng. Vậy M (1; 2) M là các điểm cần tìm. Chọn B.