VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Hai góc đối đỉnh, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Hai góc đối đỉnh:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Thế nào là hai góc đối đỉnh Định nghĩa 1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. 2. Tính chất của hai góc đối đỉnh Tính chất 1. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Chứng minh: Nhận xét rằng: Oc1 + Oc2 = 180◦, vì là hai góc kề bù. Oc1 + Oc4 = 180◦, vì là hai góc kề bù. Suy ra Oc2 = Oc4. Chứng minh tương tự ta cũng có Oc1 = Oc3. O 1 2 3 4 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1 (Bài 7/tr83 – Sgk). Cho ba đường thẳng xx0, yy0, zz0 đồng quy tại O. Hãy viết tên các cặp góc đối đỉnh. LỜI GIẢI. Từ hình vẽ ta nhận thấy ngay các cặp góc đối đỉnh bằng nhau, bao gồm: Oc1 và Oc4; Oc2 và Oc5; Oc3 và Oc6. xOz và x 0Oz0 ; yOx 0 và y 0Ox; zOy 0 và z 0Oy. Vậy theo giả thiết ta nhận được 6 cặp góc đối đỉnh. O x x 0 y y 0 z z 0 1 2 3 4 5 6 VÍ DỤ 2 (Bài 6/tr83 – Sgk). Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một góc 47◦.
Tính số đo các góc còn lại. LỜI GIẢI. Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại O và Oc1 = 47◦. Ta có: Oc3 = Oc1 = 47◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. Vì Oc1, Oc2 là hai góc kề bù nên Oc1 + Oc2 = 180◦ ⇒ Oc2 = 180◦ − 47◦ = 133◦. Suy ra Oc4 = Oc2 = 133◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. O 1 2 3 4 VÍ DỤ 3. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một cặp góc đối đỉnh có tổng số đo bằng 130◦. Tính số đo của mỗi góc. LỜI GIẢI. Theo giả thiết, ta có thể giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại O và Oc1 + Oc3 = 130◦. Khi đó: Oc1 = Oc3 = 130◦ 2 = 65◦. Oc2 = Oc4 = 180◦ − 65◦ = 115◦. O 1 2 3 4 Nhận xét. Qua ví dụ 2 và ví dụ 3, chúng ta có thể khẳng định được rằng: hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, ta có thể tính được số đo của các góc nếu biết: 1 Số đo của một trong bốn góc. 2 Tổng số đo của một cặp góc đối đỉnh. 3 Tổng số đo của ba trong bốn góc. 4 Hiệu số đo của hai góc kề bù. 5 Tỉ số số đo của hai góc kề bù. VÍ DỤ 4. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một góc 90◦. Chứng tỏ rằng số đo các góc còn lại đều bằng nhau. LỜI GIẢI. Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại O và Oc1 = 90◦. Ta có: Oc3 = Oc1 = 90◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. Vì Oc1, Oc2 là hai góc kề bù nên Oc1 + Oc2 = 180◦ ⇒ Oc2 = 180◦ − 90◦ = 90◦. Suy ra Oc4 = Oc2 = 90◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. Vậy ta được Oc1 = Oc2 = Oc3 = Oc4 = 90◦. O 1 2 3 4 Nhận xét. Như vậy, nếu hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông thì các góc còn lại cũng vuông. Trường hợp này chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn trong chủ đề hai đường thẳng vuông góc.
VÍ DỤ 5. Hãy thực hiện các công việc sau: 1 Vẽ góc xOy = 60◦. 2 Vẽ góc x 0Oy0 đối đỉnh với góc xOy. 3 Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. 4 Vẽ tia đối Ot0 của tia Ot. Giải thích tại sao Ot0 là tia phân giác của góc x 0Oy0. 5 Viết tên sáu cặp góc đối đỉnh và tính số đo của chúng. LỜI GIẢI. Công việc của các câu a), b), c) được mô tả trên hình vẽ. d) Từ hình vẽ ta thấy: Oc1 = Oc3 vì đối đỉnh. Oc2 = Oc4 vì đối đỉnh. Mặt khác, vì Ot là tia phân giác của góc xOy nên: Oc1 = Oc2 ⇒ Oc3 = Oc4 ⇔ Ot0 là tia phân giác của góc x 0Oy0. e) Sáu cặp góc đối đỉnh, gồm có: Oc1 = Oc3 = 30◦ ; Oc2 = Oc4 = 30◦ ; Oc5 = Oc6 = 180◦ − 60◦ = 120◦ ; xOy = x 0Oy0 = 60◦ ; tOx 0 = t 0Ox = 30◦ + 120◦ = 150◦ ; yOt 0 = y 0Ot = 30◦ + 120◦ = 150◦. O x x 0 y y 0 t t 0 1 2 5 3 4 6 Nhận xét. Trong ví dụ trên chúng ta đã chứng minh được kết quả: “Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau”. Kết quả này thường sử dụng để: Chứng minh hai tia đối nhau. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau rồi đặt tên cho các góc tạo thành. 1 Viết tên các cặp góc đối đỉnh. 2 Viết tên các góc bằng nhau. LỜI GIẢI. 1 Các cặp góc đối đỉnh: Oc1 và Oc3; Oc2 và Oc4. 2 Các góc bằng nhau: Oc1 = Oc3; Oc2 = Oc4. O 1 2 3 4 BÀI 2. Vẽ bốn đường thẳng cắt nhau tại O rồi đặt tên cho các góc tạo thành. 1 Viết tên các cặp góc đối đỉnh. 2 Viết tên các góc bằng nhau. LỜI GIẢI. 1 Các cặp góc đối đỉnh: Oc1 và Oc5; Oc2 và Oc6; Oc3 và Oc7; Oc4 và Oc8; tOy d và t 0Oy0 ; tOz d và t 0Oz0 ; xOz và x 0Oz0 ; xOt 0 và x 0Ot; yOt 0 và y 0Ot; yOx 0 và yOx ; zOx 0 và z 0Ox; zOy 0 và z 0Oy.
2 Các góc bằng nhau: Oc1 = Oc5; Oc2 = Oc6; Oc3 = Oc7; Oc4 = Oc8; tOy d = t 0Oy0 ; tOz d = t 0Oz0 ; xOz = x 0Oz0 ; xOt 0 = x 0Ot; yOt 0 = y 0Ot; yOx 0 = yOx ; zOx 0 = z 0Ox; zOy 0 = z 0Oy. O x x 0 y y 0 z z 0 t t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BÀI 3. Nếu có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì chúng tạo thành bao nhiêu cặp góc đối đỉnh. LỜI GIẢI. Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra 2 = 2 · 1 cặp góc đối đỉnh. Ba đường thẳng cắt nhau tạo ra 6 = 3 · 2 cặp góc đối đỉnh. Bốn đường thẳng cắt nhau tạo ra 12 = 4 · 3 cặp góc đối đỉnh. Vậy n đường thẳng cắt nhau tạo ra n(n − 1) cặp góc đối đỉnh. BÀI 4. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một góc 80◦. Tính số đo các góc còn lại. LỜI GIẢI. Theo giả thiết, ta có thể giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại O và Oc1 = 80◦. Khi đó: Oc3 = Oc1 = 80◦. Oc2 = Oc4 = 180◦ − 80◦ = 100◦. O 1 2 3 4 BÀI 5. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một góc 68◦. Tính số đo các góc còn lại. LỜI GIẢI. Theo giả thiết, ta có thể giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại O và Oc1 = 68◦. Khi đó: Oc3 = Oc1 = 68◦. Oc2 = Oc4 = 180◦ − 68◦ = 112◦. O 1 2 3 4 BÀI 6. Hãy thực hiện các công việc sau: 1 Vẽ góc xOy = 80◦. 2 Vẽ góc x 0Oy0 đối đỉnh với góc xOy. 3 Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. 4 Vẽ tia đối Ot0 của tia Ot. Giải thích tại sao Ot0 là tia phân giác của góc x 0Oy0. 5 Viết tên sáu cặp góc đối đỉnh và tính số đo của chúng. LỜI GIẢI. Công việc của các câu a), b), c) được mô tả trên hình vẽ. d) Từ hình vẽ ta thấy: Oc1 = Oc3 vì đối đỉnh. Oc2 = Oc4 vì đối đỉnh. Mặt khác, vì Ot là tia phân giác của góc xOy nên: Oc1 = Oc2 ⇒ Oc3 = Oc4 ⇔ Ot0 là tia phân giác của góc x 0Oy0. e) Sáu cặp góc đối đỉnh, gồm có: Oc1 = Oc3 = 40◦ ; Oc2 = Oc4 = 40◦ ; Oc5 = Oc6 = 180◦ − 80◦ = 100◦ ; xOy = x 0Oy0 = 80◦ ; tOx 0 = t 0Ox = 40◦ + 100◦ = 140◦ ; yOt 0 = y 0Ot = 40◦ + 100◦ = 140◦. O x x 0 y y 0 t t 0 1 2 5 3 4 6.
BÀI 7. Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc (như trong hình vẽ). Tính số đo của các góc còn lại nếu biết: O 1 2 3 4 Oc1 = 75◦ a). Oc1 + Oc3 = 140◦ b). Oc1 + Oc2 + Oc3 = 240◦ c). Oc2 − Oc1 = 30◦ d). e) Oc2 = 2Oc1. LỜI GIẢI. 1 Oc3 = Oc1 = 75◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. Vì Oc1, Oc2 là hai góc kề bù nên Oc1 + Oc2 = 180◦ ⇒ Oc2 = 180◦ − 75◦ = 105◦. Suy ra Oc4 = Oc2 = 105◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. 2 Oc3 = Oc1 = 140◦ 2 = 70◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. Vì Oc1, Oc2 là hai góc kề bù nên Oc1 + Oc2 = 180◦ ⇒ Oc2 = 180◦ − 70◦ = 110◦. Suy ra Oc4 = Oc2 = 110◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. 3 Ta có: Oc1 + Oc2 + Oc3 + Oc4 = 360◦ ⇒ Oc4 = 360◦ − Oc1 + Oc2 + Oc3 = 360◦ − 240◦ = 120◦. Suy ra Oc2 = Oc4 = 120◦ vì chúng là hai góc đối đỉnh. Suy ra Oc1 + Oc3 = 120◦ ⇒ Oc1 = Oc3 = 60◦. 4 Ta có: Oc2 − Oc1 = 30◦ ⇒ Oc2 = 30◦ + Oc1. Mặt khác, ta cũng có: Oc1 + Oc2 = 180◦ ⇒ Oc1 + 30◦ + Oc1 = 180◦ ⇒ Oc1 = 180◦ − 30◦ 2 = 75◦. Suy ra Oc3 = Oc1 = 75◦ và Oc4 = Oc2 = 30◦ + Oc1 = 30◦ + 75◦ = 105◦. 5 Ta có: Oc1 + Oc2 = 180◦ ⇒ Oc1 + 2Oc1 = 180◦ ⇒ Oc1 = 180◦ 3 = 60◦. Suy ra Oc3 = Oc1 = 60◦ và Oc4 = Oc2 = 2 · 60◦ = 120◦. BÀI 8. Cho hai góc đối đỉnh. Vẽ một tia phân giác của một trong hai góc đó. Chứng minh rằng tia đối của tia này là tia phân giác của góc còn lại. LỜI GIẢI. Giả sử hai đường thẳng xx0, yy0 cắt nhau tại O và Ot là tia phân giác của góc xOy và Ot0 là tia đối của tia Ot. Ta chứng minh Ot0 là tia phân giác của góc x 0Oy0 Từ hình vẽ ta thấy: Oc1 = Oc3 vì đối đỉnh. Oc2 = Oc4 vì đối đỉnh. Mặt khác, vì Ot là tia phân giác của góc xOy nên: Oc1 = Oc2 ⇒ Oc3 = Oc4 ⇔ Ot0 là tia phân giác của góc x 0Oy0.