VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện với đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện với đường thẳng:
Dạng toán 6. Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện với đường thẳng. Phương pháp giải Vị trí tương đối: Cho 2 điểm A x y B x y A A B B và đường thẳng ax by c 0 Xét biểu thức T ax by c ax by c A A B B. Khi đó: Nếu T 0 thì hai điểm A B nằm khác phía so với đường thẳng. Nếu T 0 thì hai điểm A B nằm cùng phía so với đường thẳng. Đặc biệt Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị cùng dấu y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm khác phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị trái dấu y 0 có hai nghiệm trái dấu. Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Ox y 0 có hai nghiệm phân biệt và 0 CD CT y y. Cùng phía trên đối với trục Ox y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0 0 CD CT CD CT y y Cùng phía dưới đối với trục Ox y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0 0 CD CT CD CT y y.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm khác phía đối với trục Ox y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0 CD CT y y Hoặc f x 0 có 3 nghiệm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm). Bài toán: Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d. Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu 1 m D. Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A B. Có 2 trường hợp thường gặp: Trường hợp 1: y 0 có nghiệm đẹp 1 2 x x tức có A x y B x y 1 1 2 2.
Trường hợp 2: y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A x y B x y 1 1 2 2. Bước 3. Gọi 1 2 1 2 x x y y I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do A B đối xứng qua d nên thỏa hệ 2 0 d d AB u m D I d I d. Bước 4. Kết luận m D D 1 2. Bài toán: Hai điểm cực trị cách đều đường thẳng d. Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A B.
Có 2 trường hợp thường gặp: Trường hợp 1: y 0 có nghiệm đẹp 1 2 x x tức có A x y B x y 1 1 2 2. Trường hợp 2: y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A x y B x y 1 1 2 2. Bước 3. Do A B cách đều đường thẳng d nên 2 d A d d B d m D. Bước 4. Kết luận m D D 1 2. Ví dụ 01. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y x x m 3 có hai điểm cực trị A B thỏa mãn OA OB (O là gốc tọa độ)?
Lời giải Chọn D 2 y x x 3 6. Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A m 0 và B m 2 4. Ta có 2 OA OB m m 20 8 0 2. Ví dụ 02. Cho hàm số 3 2 y x m x m x 6 2 9 2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. Từ 1 2 ta có ycbt. Ví dụ 03. (ĐMH NĂM 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 1 3 2 2 1 3 y x mx m x có hai điểm cực trị A và B sao cho A B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d y x 5 9.
Tính tổng tất cả các phần tử của S. Lời giải Chọn D Ta có 2 y x mx m. Dễ thấy phương trình đường thẳng 2 1 2 3 3 m m AB y x nên AB không thể song song hoặc trùng với d A B cách đều đường thẳng d y x 5 9 nếu trung điểm I của AB nằm trên d 5 9 18 27 0. Với m A B 3 thỏa điều kiện nằm khác phía so với d. Với 3 3 5 m A B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d. Tổng các phần tử của S bằng 0.
Ví dụ 04. Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số 3 2 3 y x mx m có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là. Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m 0. Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là? Ta có 3 I m m 2 là trung điểm của đoạn thẳng AB. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d x y 0. Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 3 2 3 m m. Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0.