VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị:
Dạng 5: Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp giải: Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng. Biến đổi giả thiết về dạng y = f(t) và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(t). Chú ý: Tam thức bậc hai: 2 y ax bx c a ≠ 0 có đỉnh 2 4 b I a a. Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ u ab và v cd ta có: u v uv. Khi đó 2 2 a b c d ac bd dấu bằng xảy ra a b c d.
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 3 1 d 112 xy z và hai điểm A(2;-1;1); B(0;1;-2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất. Lời giải: Đường thẳng d có phương trình tham số : 3 1 2 x t dy t z t. Gọi M là điểm cần tìm. Do nếu M thuộc d thì M nên Mt t t 3 1 2. Diện tích tam giác M được tính bởi 1 S 2 AM BM trong đó 2 2 3 AM t t AB.
Do đó 11 1 2 2 8 16 22 2 SABM AM AB t t 1 1 2 5 34 34 2 2t. Vậy 34 minS 5 5 8 11 t M. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A B C (1;0;-1); (0;2;3); (1;1;1) và đường thẳng 1 1 d 1 22 xyz. Tìm điểm M trên d sao cho: a) 22 2 MA MB MC 2 4 đạt giá trị lớn nhất? b) min AM BC đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: a) Gọi M t tt d 1 1 2 2 và I là điểm thỏa mãn IA IB IC I 2 4 0 5 0 1.
Biến đổi 2 2 MA MB MC MI IA MB MC 2 4 2 4 lớn nhất 2 ⇔ MI nhỏ nhất. Lại có: 222 MI t t 4 2 1 2 1 9 8 18 nhỏ nhất 4 13 17 8 t M. b) Ta có: AM t t t BC 1 2. Khi đó 2 2 min AM BC t t 3 4 2 1 9 10 10 nhỏ nhất 5 13 1 19 2 9 9 99 b t M a. Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A B (0;0;3); (0;3;3) và đường thẳng d 111 xyz. Tìm điểm M trên d sao cho: a) 2 2 MA MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất b) MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: a) Gọi M tt ta có: 22 2 MA MB t t 2 3 9 30 45 đạt giá trị nhỏ nhất 5 555 b t M b) Ta có: MA MB t t 2 3 23 3 12 22 t t. Dấu bằng xảy ra 1 3 333 1 222 t t M t. Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi là điểm thuộc 2 1 d 1 12 x yz sao cho 2 22 A a bc 3 2 nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng OM là? A. OM = 87. B. OM = 93. C. OM = 41. D. OM = 33. Lời giải: Gọi M 2 1 2 tt khi đó 2 2 3 3 32214 a bc t t t 2 2t 8 14 4 2 2. Do đó min A = −2 khi t M ⇒ 4 2 5 8. Khi đó OM = 93. Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A B C D 1 6 3 2 4. Gọi M(a;b;c)làm điểm thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính S abc. Lời giải: Ta có: CD(1;-4;1). Phương trình đường thẳng CD là: 2 2 4 x t CD y t z t. Vì M CD nên M t t. Chu vi tam giác MAB là: P AB MA MB. Vì A, B cố định nên AB không đổi. Ta có: 2 2 P AB t t 3 43 6 5 4 4.
Dấu = xảy ra 1 31 3 1 2 2 tM S. Chọn B. Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A B 1 3 2 và đường thẳng D có phương trình 1 2 2 12 xy z. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó độ dài OM là. A. OM = 3. B. OM = 3. C. OM = 2. D. OM = 5. Lời giải: Gọi M t t 1 2 2 2 ta có: CABC nhỏ nhất ⇔ P MA MB nhỏ nhất. Khi đó 2 2 P tt 4 5 22 22 3 24. Trong mặt phẳng tọa độ gọi ut v t 3 12 5. Ta có: 2 2 u v uv P. Dấu bằng xảy ra 3 1 1 0 1 t t M t do đó OM = 5. Chọn D.