VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài tập về hoán vị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Bài tập về hoán vị:
Dạng 1. BÀI TẬP VỀ HOÁN VỊ. Bài 01. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau). Lời giải Mỗi cách sắp xếp 5 đội vào 5 vị trí từ 1 đến 5 là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có 5 120 ! khả năng. n n Trong không gian, cho tập hợp gồm điểm, trong đó không có điểm nào thẳng hàng. Hỏi ⓵ Có bao nhiêu đường thẳng tạo thành? ⓶ Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? Ví dụ 8 Bài 02. Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp a b c d e f mà phần tử cuối cùng bằng a.
Lời giải Mỗi cách sắp xếp b c d e f vào 5 vị trí đầu là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có 5 120 ! hoán vị. Bài 03. Với các chữ số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong mỗi trường hợp sau đây ⓵. n có 5 chữ số đôi một khác nhau. ⓶. n là số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau. ⓷. n là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau. Lời giải Gọi X 1 2 3 4 5. Giả sử số cần lập có dạng n abcde. ⓵. n có 5 chữ số đôi một khác nhau. Xếp 5 số của tập X vào 5 vị trí có 5 120 ! cách. ⓶. n là số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau. n là số chẵn nếu e là số chẵn, e 2 4, có 2 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn e, từ X e chọn 4 số để xếp vào 4 vị trí còn lại có 4! cách. Theo quy tắc nhân ta có 2 4 48 ! (số). ⓷. n là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau. n là số lẻ nếu e là số lẻ, e 1 3 5 có 3 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn e, từ X e chọn 4 số để xếp vào 4 vị trí còn lại có 4! cách. Theo quy tắc nhân ta có 3 4 72 ! (số). Bài 04. Từ các chữ số 1 2 3 4 5 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau, hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 5 không đứng cạnh nhau. Lời giải Cách 1: Đếm trực tiếp Xếp 1 và 5 vào 2 trong 6 vị trí mà chúng không đứng cạnh nhau có 4 3 2 1 2 20. cách.
Xếp 4 số 2 3 4 6 vào 4 vị trí còn lại có 4! cách. Theo quy tắc nhân, ta có 20 4 480 ! (số). Cách 2: Đếm phần bù Xếp 6 số vào 6 vị trí có 6! cách. Xếp 15, vào 2 trong 6 vị trí sao cho chúng đứng cạnh nhau có 5 2 10. cách. Xếp 4 số 2 3 4 6 vào 4 vị trí còn lại có 4! cách. Vậy có 6 10 4 480 ! (số). Cách 3: Sử dụng thủ thuật nhỏ Xếp 6 số vào 6 vị trí có 6! cách. Xem 1 5; đứng cạnh nhau là một số xét trường hợp 15, đứng cạnh nhau. Số cách lập chính là số hoán vị của tập 2 3 4 6 Do có 2 cách tạo ra nên có có 5 2!. số trong trường hợp này. Vậy có 6 5 2 480 ! !. (số). Bài 05. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2345.
Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau. Lời giải Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách. Xếp 2345 vào 4 vị trí còn lại có 4! cách. Theo quy tắc nhân, ta được 5 4 120 ! (số). Bài 06. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A B C D E vào một chiếc ghế sao cho: ⓵. C ngồi chính giữa. ⓶. A và E ngồi ở hai đầu ghế. Lời giải ⓵. C ngồi chính giữa. Xếp C ngồi chính giữa có 1 cách. Xếp 4 người A B D E còn lại vào 4 vị trí còn lại có 4! cách. Theo quy tắc nhânc ta được 1 4 24 ! (số). ⓶. A và E ngồi ở hai đầu ghế. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế có 2! cách. Xếp 3 người B C D vào 3 vị trí còn lại có 3! cách. Theo quy tắc nhân, ta được 2 3 12 !. (số).
Bài 07. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu: ⓵. Không có yêu cầu gì thêm. ⓶. Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. ⓷. Hai nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế. ⓸. Hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau. Lời giải ⓵. Không có yêu cầu gì thêm. Mỗi cách xếp thỏa mãn yêu cầu là một hoán vị của 5 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là 5 P 5 120 ! cách. ⓶. Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. Giả sử các ghế được đánh thứ tự từ 1 đến 5. Để nam nữ ngồi xen kẽ nhau thì nam ngồi ở ghế ghi số lẻ, nữ ngồi ghế ghi số chẵn. Số cách sắp xếp là: 3 2 12 !. cách. ⓷. Hai nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế. 2 nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế có 2! cách. 3 nam ngồi ở 3 ghế giữa có 3! cách. Vậy có 2 3 12 !. cách xếp. ⓸. Hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau. Coi 2 nữ là một phần tử a.
Xếp phần tử a và 3 nam vào dãy có 4! cách. Hoán đổi vị trí 2 nữ trong phần tử a có 2! cách. Do đó có 4 2 48 !. cách. Bài 08. 40 thí sinh, trong đó có thí sinh A và B được xếp chỗ ngồi vào 20 bàn trong một phòng thi, mỗi bàn xếp đủ 2 thí sinh. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho hai thí sinh A và B được ngồi cùng một bàn? Lời giải Chọn một bàn trong 20 bàn để xếp hai thí sinh A và B vào bàn đó có: 20 2! cách. Xếp 38 thí sinh còn lại vào các vị trí còn lại có: 38! cách. Vậy có 20 2 38 40 38 ! cách xếp. Bài 09. Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau đây: ⓵. Các học sinh ngồi tùy ý. ⓶. Nam sinh và nữ sinh ngồi riêng dãy.
⓷. Nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau trong từng dãy. ⓸. Bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới. ⓹. Bất cứ 2 người nào đối diện nhau cũng đều khác giới Lời giải ⓵. Các học sinh ngồi tùy ý. Mỗi cách xếp thỏa mãn yêu cầu là một hoán vị của 12 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là 12 P 12 479001600 ! cách. ⓶. Nam sinh và nữ sinh ngồi riêng dãy. Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B. Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi dãy A các bạn nữ ngồi dãy B Số cách xếp là: 6 6!. cách. Trường hợp 2: Các bạn nữ ngồi dãy A các bạn nam ngồi dãy B Số cách xếp là: 6 6!. cách. Vậy số cách xếp là: 2 6 6 1036800 !. cách. ⓷. Nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau trong từng dãy.
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B. Chọn 3 bạn nam, 3 bạn nữ để xếp vào dãy A có: 3 3 6 6 C C. Trong dãy đó xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có: 332 !. cách. Xếp 3 nam, 3 nữ còn lại vào dãy B sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có 332 !. cách. Vậy số cách xếp là: 3 3 6 6 C C. 3 3 2 3 3 2 2073600 cách. ⓸. Bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới. Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B. Dãy A các ghế đánh số từ 1 đến 6 dãy B các ghế đánh số từ 7 đến 12 Trường hợp 1: Các bạn nam gồi ghế ghi số chẵn ở dãy A và số lẻ ở dãy B. Các bạn nữ ngồi ở ghế ghi số lẻ của dãy A và số chẵn ở dãy B có: 6 6!. cách. Trường hợp 2: Ngược lại có 6 6!. cách.
Vậy số cách xếp là: 2 6 6 1036800 !. cách. ⓹. Bất cứ 2 người nào đối diện nhau cũng đều khác giới Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B. Dãy A các ghế đánh số từ 1 đến 6 dãy B các ghế đánh số từ 7 đến 12 Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 1 có 12 cách. Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 7 để khác giới với bạn vị trí ghế số 1 có 6 cách. Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 2 có 10 cách. Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 8 để khác giới với bạn vị trí ghế số 1 có 5 cách. Cứ tuân theo cách xếp như vậy, ta có số cách xếp là: 12 10 8 6 4 2 6 5 4 3 2 33177600. Bài 10. Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong mỗi trường hợp sau đây: ⓵ Không có yêu cầu gì thêm.
⓶ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường. ⓷ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc cũng như trong mỗi hàng ngang. ⓸Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc và tất cả các học sinh trong mỗi hàng ngang đều cùng trường. Lời giải ⓵ Không có yêu cầu gì thêm. Mỗi cách xếp thỏa mãn yêu cầu là một hoán vị của 40 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là 40 P 40! cách. ⓶ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường. Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là 1 2 3 4 D D D D. Theo yêu cầu thì Các bạn trường A được xếp ở 1 3 D D, Các bạn trường B được xếp ở 2 4 D D, hoặc ngược lại. Nên số cách xếp là 20 20 2 !. cách. ⓷ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc cũng như trong mỗi hàng ngang. Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là 1 2 3 4 D D D D.
Mỗi hàng các vị trí lại được kí hiệu từ 1 đến 10 Theo yêu cầu bài toán thì: Các bạn trường A được xếp ở D1 ghi số chẵn, D2 ghi số lẽ, D3 ghi số chẵn, D4 ghi số lẽ. Các bạn trường B ở các vị trí còn lại. Hoặc ngược lại. Nên số cách xếp là 20 20 2 !. cách. ⓸ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc và tất cả các học sinh trong mỗi hàng ngang đều cùng trường. Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là 1 2 3 4 D D D D. Mỗi hàng các vị trí lại được kí hiệu từ 1 đến 10 Theo yêu cầu bài toán thì: Các bạn trường A được xếp ở D1 ghi số chẵn, D2 ghi số chẵn, D3 ghi số chẵn, D4 ghi số chẵn. Các bạn trường B ở các vị trí còn lại. Hoặc ngược lại. Nên số cách xếp là 20 20 2 !. cách Bài 11. Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau Lời giải Giả sử các vị trí được đánh thứ tự từ 1 đến 2n. Để nam nữ đứng xen kẽ nhau thì nam đứng ở vị trí ghi số lẻ, nữ ngồi ở vị trí ghi số chẵn. Số cách sắp xếp là: n n!.2 cách.