Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép vị tự

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép vị tự, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép vị tự:
PHÉP VỊ TỰ. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa. Cho điểm O và số k = 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM = kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V. Ví dụ 1 a) Trên hình 1.51a các điểm A, B, C lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép vị tự tâm 0 tỉ số -2. b) Trong hình 1.51b phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình H thành hình H”. Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC. Tìm một phép tự biến B và C tương ứng thành E và F. Nhận xét 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất. 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự. TÍNH CHẤT. Nếu phép vị tự ti sổ k biên lai điểm M, N thủy theo thứ tự tại M, N thi M’N’= MN. Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k. Theo định nghĩa của phép vị tự ta có: OM = ROM và ON’ = kON. Từ đó suy ra MN = kMN.
Vi dụ 2. Gọi A, B, C theo thứ tự là anh của A, B, C qua phép vị tự ti số k. Chứng minh. Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k, ta có: A’B’ = k.AB, A’C’ = kAC. Do đó: AB = AC = BC = AC = A’B’ = A’C. Tính chất 2. Phép vị tự tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy. b)Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó (h.1.54). d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR (h.1.55).
PHÉP VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN. Ta đã biết phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn. Ngược lại, ta có định lý sau: Định lý Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’). Có ba trường hợp xảy ra: Trường hợp I trùng với I và phép vị tự tâm I tỉ số. Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I; R) (h.1.58). Phép vị tự tắm I, tỉ số k = R. Trường hợp I khác I và R R’. Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường trong (I; R) đường thẳng qua I song song với IM cắt đường tròn (T; R) tại M và M”. Giả sử M, M nằm cùng phía đối với đường thẳng II còn M, M” nằm khác phía đối với đường thẳng. Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II tại điểm O nằm trong đoạn thẳng II. Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số kỹ và phép vị tự tâm O, tỉ số k = 8 sẽ biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O là tấm vị tự trong của hai đường tròn nói trên. Trường hợp I khác I và R = R. Khi đó MM’ // II’ nên chỉ có phép vị tự tâm O, tỉ số k = 1, biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (T; R). Nó chính là phép đối xứng tâm O.
PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định phép vị tự biến điểm M cho sẵn thành điểm M cho sẵn Phương pháp giải: Ta có các trường hợp sau: a. Nếu cho sẵn tâm O, ta tìm tỉ số k bằng OM. b. Nếu cho sẵn k, ta tìm O là điểm chia đoạn MM theo tỉ số k. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Hãy xác định tâm phép vị tự có tỉ số k = 3 biến G thành A. Giải Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Ta có: OA = 3OG (tính chất trọng tâm). Hệ thức này chứng tỏ V(O; 3). Vậy, tâm của phép vị tự phải tìm là trung điểm O của BC. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp 0. Tìm tỉ số của phép vị tự tâm G biến H thành 0. Theo định lí Ơ-le, ta có 0, G, H thẳng hàng và GO. Hệ thức này chứng tỏ (H) = 0. Vậy tỉ số của phép vị tự phải tìm là.
Dạng 2. Dùng phép vị tự để tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Để tìm tập hợp những điểm N, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Xác định phép vị tự V(O; R). Bước 2. Tìm tập hợp H những điểm M, suy ra tập hợp những điểm N là H, ảnh của H qua phép vị tự V. Ví dụ 1: Cho đường tròn cố định (0), tâm O, bán kính R. Trên (O) lấy hai điểm cố định và phân biệt A, B. Gọi M là điểm di động trên (O) và M là điểm sao cho MM’= AB. Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác BMM. Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) cố định, tâm O, bán kính R. Gọi A là điểm cố định trên (O); B và C là hai điểm di động trên (O) sao cho BAC = 0 (0° < a 0 và I’ = V(O; k)(I). Do đó, I thuộc đường thẳng qua A và song song với AI.