Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đồng dạng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đồng dạng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép đồng dạng:
PHÉP ĐỒNG DẠNG. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Định nghĩa Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng với tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta có: M’N’ = kMN. Định lí: Mọi phép đồng dạng f tỉ số k (k > 0) đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình. Tính chất của phép đồng dạng Phép đồng dạng: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k (k là tỉ số đồng dạng). Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số kỹ. Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R’= kR. Biến một góc thành một góc bằng nó. Hai hình đồng dạng. Định nghĩa: Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của phép đồng dạng. Phương pháp giải: Sử dụng định lí: “Mọi phép đồng dạng f tỉ số k (k > 0) đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình”. Ví dụ: Cho phép đồng dạng f là hợp thành của phép quay tâm 0, góc quay p và phép vị tự cùng ứng minh rằng ảnh M’ của điểm M xác định bởi. Gọi M là ảnh của M trong phép quay tâm O, góc quay p. Gọi M là ảnh của M, trong phép vị tự tâm 0, tỉ số k (k > 0), ta có Từ (2) và (4) ta có: (OM,OM’) = p. Tóm lại, phép đồng dạng f là hợp thành của phép quay Q và phép vị tự V(O; R), (k > 0) biến OM’ = KOM điểm M thành điểm M xác định bởi.
Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm M qua một phép đồng dạng. Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa của phép đồng dạng. Ví dụ: Chứng minh rằng, nếu một phép đồng dạng f biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm của tam giác A’B’C’. Gọi D là trung điểm của cạnh BC, thì: D là trung điểm của cạnh BC. Do đó: f biến trung tuyến AD thành trung tuyến A’D’. Tương tự, biến trung tuyến BE thành trung tuyến BE”. Tức là f biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác ABC.
Gọi AA là đường cao của tam giác ABC thì: Như thế f biến đường cao AA, của tam giác ABC thành đường cao A’A’ của tam giác ABC. Tương tự, f biến đường cao BB, của tam giác ABC thành đường cao B’B’ của tam giác A’B’C, tức là f biến trực tâm H của tam giác ABC. Do đó f biến H = AAOBB thành H’ = A’A, thành trực tâm H’ của tam giác A’B’C’. Tương tự, ta cũng chứng minh được f biến tâm O của đường tròn (ABC) thành tâm O’ của đường tròn (A’B’C’).
Dạng 3. Chứng minh hai hình H và H đồng dạng. Phương pháp giải: Ta chứng minh có một phép đồng dạng f biến H thành H. Ví dụ: Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau. Giải Cho hai n giác đều có cùng số cạnh là n và có tâm lần lượt là 0. Hai tam giác câu AOA, và BO’B, có góc ở đỉnh AOA = B’O’B. Gọi V(O; R) là phép vị tự tâm O, tỉ số k, thì V(O; R) biến đa giác đều thành đa giác đều và ta có: S = k. Nếu gọi là hợp thành của V(O; R) và D, thì f là một phép đồng dạng biến n giác đều thành n giác đều. Dạng 4. Tìm tập hợp các điểm M là ảnh của điểm M qua một phép đồng dạng. Phương pháp giải: Xác định phép đồng dạng f: M » M’. Tìm tập hợp H của các điểm M. Suy ra tập hợp các điểm M là H, ảnh của H qua phép đồng dạng f.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân ở A (các đỉnh vẽ theo chiều dương, tức ngược chiều quay của kim đồng hồ). Biết đỉnh B cố định, đỉnh A di động trên đường tròn (O; R). Tìm tập hợp các đỉnh C. Tam giác ABC vuông cân ở A nên BC = AB2. Xét phép vị tự tâm B tỉ số k = 2 biến A thành A, với BA = V2BA. Ta có A thuộc nửa đường thẳng BA và BA’ = BA/2. Từ đó suy ra: Do đó C là ảnh của A’ trong phép quay tâm B, góc 45°, suy ra C là ảnh của A qua phép hợp thành của phép vị tự V(B; 12) và phép quay. Vậy C là ảnh của A qua một phép đồng dạng tỉ số km/2. Theo giả thiết, A di động trên đường tròn (O; R), nên tập hợp của C là đường tròn (O; R/2), ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đồng dạng đó. Tâm O được xác định.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Phép vị tự với tỉ số k là một phép đồng dạng. B. Phép đồng dạng là một phép dời hình. C. Phép vị tự với tỉ số k = +1 không phải là một phép dời hình. D. Phép quay là một phép đồng dạng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Phép đồng dạng nói chung không phải là một phép dời hình. Thật vậy: Nếu phép đồng dạng với tỉ số k biến điểm M, N thành M, N thì ta có: M’N’ = kMN. Do đó, nếu k + 1 thì M’N’ + MN, trong trường hợp này phép đồng dạng không phải là một phép dời hình. Câu 2. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Phép vị tự với tỉ số k là một phép đồng dạng với tỉ số k. B. Phép đồng dạng là một phép vị tự. C. Nếu ta thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình thì ta được một phép đồng dạng. D. Nếu hai đa giác đồng dạng thì tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm P(3; -1). Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự V(04) và 3 điểm P biến thành điểm P có tọa độ là. Giả sử ta có: Phép vị tự biến điểm M thành điểm N và phép vị tự V(I; k,) biến điểm N thành điểm P. Khi đó ta có: ON = k,OM và OP = k,ON. Suy ra OP = kk,OM. Như thế P là ảnh của M qua phép vị tự V(O; k). Áp dụng kết quả trên phép vị tự biến điểm P thành điểm P là phép vị tự V tâm I theo tỉ số k = 4 . (-5) = -2. Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Nếu có phép đồng dạng biến cạnh AB thành cạnh BC thì tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng.