VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Chia đa thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Chia đa thức:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với A(x), B(x), Q(x) và R(x) là các đa thức. Ta có Đa thức A(x) được gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác đa thức 0 nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho A(x) = B(x) · Q(x). Người ta chứng minh được rằng: Với mọi cặp đa thức A(x) và B(x), trong đó B(x) 6= 0, tồn tại duy nhất cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho A(x) = B(x) · Q(x) + R(x). Trong đó R(x) = 0 hoặc bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x). – Nếu R(x) = 0 thì A(x) chia hết cho B(x). – Nếu R(x) 6= 0 thì A(x) không chia hết cho B(x). Khi đó Q(x) là thường và R(x) là dư của phép chia A(x) cho B(x). B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÍ DỤ 1. Cho hai đa thức A = 3x n−1 y 6 − 5x n+1y 4 và đơn thức B = 2x 3 y n. 1 Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B. 2 Tìm thương A : B trong trường hợp đó. LỜI GIẢI. 1 Điều kiện để đa thức A chia hết cho đơn thức B là n − 1 ≥ 3 n + 1 ≥ 3 6 ≥ n 4 ≥ n ⇔ n ≥ 4 n ≥ 2 4 ≥ n ⇔ (n ≥ 4 n ≤ 4 ⇔ n = 4. Vậy với n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B. 2 Với n = 4 thì A = 3x 3 y 6 − 5x 5 y 4 và B = 2x 3 y 4. Khi đó A : B = (3x 3 y 6 − 5x 5 y 4) : (2x 3 y 4) = 3 2 y 2 − 5 2 x 2. VÍ DỤ 2. Xác định các số hữu tỉ a và b để đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x − 2. LỜI GIẢI. Cách 1: Đặt tính chia x 3 + ax + b x 2 + x − 2 − x x − 1 3 − x 2 + 2x − x 2 + (2 + 1a) x + b x 2 + x − 2 (3 + 1a) x + (−2 + 1b) Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của x nên (a + 3 = 0 b − 2 = 0 ⇔ (a = −3 b = 2.
Vậy với a = −3, b = 2 thì đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x − 2, thương là x − 1. Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định) Đa thức bị chia có bậc ba và đa thức chia có bậc hai nên thương là một đa thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là x 3 : x 2 = x. Gọi thương của phép chia là x + c, ta có x 3 + ax + b = (x 2 + x − 2)(x + c) x 3 + ax + b = x 3 + (c + 1)x 2 + (c − 2)x − 2c. Do hai đa thức trên bằng nhau nên c + 1 = 0 c − 2 = a − 2c = b ⇔ c = −1 a = −3 b = 2. Vậy với a = −3, b = 2 thì đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x − 2, thương là x − 1. Cách 3:(Phương pháp xét giá trị riêng) Gọi thương khi chia đa thức x 3 + ax + b cho đa thức x 2 + x − 2 là Q(x), ta có x 3 + ax + b = (x 2 + x − 2)Q(x) = (x − 1)(x + 2)Q(x). Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho x = 1, x = −2, ta được (1 + a + b = 0 − 8 − 2a + b = 0 ⇔ (a + b = −1 − 2a + b = 8 ⇔ (a = −3 b = 2. Vậy với a = −3, b = 2 thì đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x − 2, thương là x − 1. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Chia đơn thức cho đơn thức BÀI 1. Thực hiện phép tính 8 12 : 46 a); 276 : 92 b); 9 15 · 253 · 4 3 3 10 · 506 c). LỜI GIẢI. 1 8 12 : 46 = (23) 12 : (22) 6 = 236 : 212 = 224. 2 276 : 92 = (33) 6 : (32) 2 = 318 : 34 = 314. 3 9 15 · 253 · 4 3 3 10 · 506 = (32) 15 · (52) 3 · (22) 3 3 10 · (2 · 5 2) 6 = 3 30 · 5 6 · 2 6 3 10 · 2 6 · 5 12 = 3 20 · 1 · 1 1 · 1 · 5 6 = 3 20 5 6. BÀI 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến A = (−15x 3 y 6) : (−5xy2). LỜI GIẢI. Ta có A = (−15x 3 y 6) : (−5xy2) = 3x 2 y 4. Vì x 2 ≥ 0 với mọi số thực x và y 4 ≥ 0 với mọi số thực y nên 3x 2 y 3 ≥ 0 với mọi x, y.
Vậy biểu thức A = (−15x 3 y 6) : (−5xy2) không âm với mọi giá trị của biến. BÀI 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x 6= 0; y 6= 0) B = 2 3 x 2 y 3 : − 1 3 + 2x(y − 1)(y + 1). LỜI GIẢI. Với x 6= 0; y 6= 0, ta có B = 2 3 x 2 y 3 : − 1 3 + 2x(y − 1)(y + 1) = −2xy2 + 2x(y 2 − 1) = −2xy2 + 2xy2 − 2x = −2x. Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến y. BÀI 4. Tìm số tự nhiên n để đơn thức A = 4x n+1y 2 chia hết cho đơn thức B = 3x 3 y n−1. LỜI GIẢI. Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B thì (n + 1 ≥ 3 2 ≥ n − 1 ⇔ (n ≥ 2 n ≤ 3 ⇔ 2 ≤ n ≤ 3. Mà n ∈ N nên n = 2 hoặc n = 3. Vậy với n = 2 hoặc n = 3 thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B. Chia đa thức cho đơn thức BÀI 5. Thực hiện phép tính 1 1 2 a 2x 4 + 4 3 ax3 − 2 3 ax2 ã : − 2 3 ax2 ã; 2 4 3 4 x − 1 ã + (12x 2 − 3x) : (−3x) − (2x + 1). LỜI GIẢI. 1 1 2 a 2x 4 + 4 3 ax3 − 2 3 ax2 ã : − 2 3 ax2 ã = −3 4 ax2 − 2x + 1. 2 4 3 4 x − 1 ã + (12x 2 − 3x) : (−3x) − (2x + 1) = 3x − 4 − 4x + 1 − 2x − 1 = −3x − 4. BÀI 6. Thực hiện phép tính rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (9xy2 − 6x 2 y) : (−3xy) + (6x 2 y + 2x 4) : (2x 2). LỜI GIẢI. A = (9xy2 − 6x 2 y) : (−3xy) + (6x 2 y + 2x 4) : (2x 2) = −3y + 2x + 3y + x 2 = x 2 + 2x = x 2 + 2 · x · 1 + 12 − 1 2 = (x + 1)2 − 1. Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x nên (x + 1)2 − 1 ≥ −1 hay A ≥ −1 với mọi x. Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng −1 khi x = −1.
BÀI 7. Tìm số tự nhiên n để đa thức A = 7x n−1 y 5 − 5x 3 y 4 chia hết cho đơn thức B = 5x 2 y n. LỜI GIẢI. Xét thương A : B = 7 5 x n−1−2 y 5−n − xy4−n = 7 5 x n−3 y 5−n − xy4−n. Để đa thức A chia hết cho đơn thức B thì n − 3 ≥ 0 5 − n ≥ 0 4 − n ≥ 0 ⇔ n ≥ 3 n ≤ 5 n ≤ 4 ⇔ 3 ≤ n ≤ 4. Do n ∈ N nên n = 3 hoặc n = 4. Vậy với n = 3 hoặc n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B. Chia đa thức cho đa thức BÀI 8. Rút gọn biểu thức [(x 3 + y 3) − 2(x 2 − y 2) + 3(x + y) 2 ] : (x + y). LỜI GIẢI. [(x 3 + y 3) − 2(x 2 − y 2) + 3(x + y) 2 ] : (x + y) = [(x + y)(x 2 − xy + y 2) − 2(x + y)(x − y) + 3(x + y) 2 ] : (x + y) = x 2 − xy + y 2 − 2(x − y) + 3(x + y) = x 2 − xy + y 2 − 2x + 2y + 3x + 3y = x 2 − xy + y 2 + x + 5y. BÀI 9. Chia các đa thức 1 (3x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 4x − 8) : (x 2 − 2); 2 (2x 3 − 26x − 24) : (x 2 + 4x + 3); 3 (x 3 − 7x + 6) : (x + 3). LỜI GIẢI. 1 3x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 4x − 8 x 2 − 2 3x − 3x 2 − 2x + 4 4 + 6x 2 − 2x 3 + 4x 2 + 4x 2x 3 − 4x 4x 2 − 8 − 4x 2 + 8 0 Vậy (3x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 4x − 8) : (x 2 − 2) = 3x 2 − 2x + 4. 2 2x 3 − 26x − 24 x 2 + 4x + 3 − 2x 2x − 8 3 − 8x 2 − 6x − 8x 2 − 32x − 24 8x 2 + 32x + 24 0 Vậy (2x 3 − 26x − 24) : (x 2 + 4x + 3) = 2x − 8. 3 x 3 − 7x + 6 x + 3 x − x 2 − 3x + 2 3 − 3x 2 − 3x 2 − 7x 3x 2 + 9x 2x + 6 − 2x − 6 0 Vậy (x 3 − 7x + 6) : (x + 3) = x 2 − 3x + 2. BÀI 10. Xác định hằng số a sao cho 1 4x 2 − 6x + a chia hết cho x − 3; 2 2x 2 + x + a chia hết cho x + 3; 3 x 3 + ax2 − 4 chia hết cho x 2 + 4x + 4.