VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Các phép tính về phân thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Các phép tính về phân thức:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Muốn cộng các phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức chung, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được. Muốn trừ đi một phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối của phân thức trừ. Muốn nhân các phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được. Muốn chia cho một phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức chia. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức A = ab a 2 + b 2 − c 2 + bc b 2 + c 2 − a 2 + ca c 2 + a 2 − b 2. LỜI GIẢI. Từ a + b + c = 0 suy ra a + b = −c.
Bình phương hai vế, ta được a 2 + b 2 + 2ab = c 2 nên a 2 + b 2 − c 2 = −2ab. Tương tự, b 2 + c 2 − a 2 = −2bc và c 2 + a 2 − b 2 = −2ca. Do đó, A = ab −2ab + bc −2bc + ca −2ca = − 1 2 − 1 2 − 1 2 = − 3 2. VÍ DỤ 2. Rút gọn biểu thức A = 1 1 − x + 1 1 + x + 2 1 + x 2 + 4 1 + x 4 + 8 1 + x 8. LỜI GIẢI. Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân thức. A = 2 1 − x 2 + 2 1 + x 2 + 4 1 + x 4 + 8 1 + x 8 = 4 1 − x 4 + 4 1 + x 4 + 8 1 + x 8 = 8 1 − x 8 + 8 1 + x 8 = 16 1 − x 16. VÍ DỤ 3. Rút gọn biểu thức B = 3 (1 · 2)2 + 5 (2 · 3)2 + · · · + 2n + 1 [n(n + 1)]2. LỜI GIẢI. Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp.
Ta có 2k + 1 k 2 (k + 1)2 = (k + 1)2 − k 2 k 2 (k + 1)2 = 1 k 2 − 1 (k + 1)2. Do đó B = 1 1 2 − 1 2 2 + 1 2 2 − 1 3 2 + · · · + 1 n2 − 1 (n + 1)2 = 1 − 1 (n + 1)2 = n(n + 2) (n + 1)2. VÍ DỤ 4. Xác định các số a, b, c sao cho 1 (x 2 + 1)(x − 1) = ax + b x 2 + 1 + c x − 1. (1) LỜI GIẢI. Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1) ta được (ax + b)(x − 1) + c(x 2 + 1) (x 2 + 1)(x − 1) = ax2 − ax + bx − b + cx2 + c (x 2 + 1)(x − 1) = (a + c)x 2 + (b − a)x + (c − b) (x 2 + 1)(x − 1). Đồng nhất phân thức trên với phân thức 1 (x 2 + 1)(x − 1), ta được a + c = 0 b − a = 0 c − b = 1 ⇒ (c + b = 0 c − b = 1 ⇒ c = 1 2, b = − 1 2. Do đó a = − 1 2. Như vậy 1 (x 2 + 1)(x − 1) = − 1 2 x − 1 2 x 2 + 1 + 1 2 x − 1.
VÍ DỤ 5. Cho A = 1 (x + y) 3 1 x 4 − 1 y 4 ã, B = 2 (x + y) 4 1 x 3 − 1 y 3 ã, C = 2 (x + y) 5 1 x 2 − 1 y 2 ã. Thực hiện phép tính A + B + C. LỜI GIẢI. Ta có A = y 4 − x 4 x 4y 4 (x + y) 3 = (y 2 + x 2)(y 2 − x 2) x 4y 4 (x + y) 3 = (y 2 + x 2)(y − x) x 4y 4 (x + y) 2. B + C = 2 (x + y) 4 1 x 3 − 1 y 3 + 1 x + y · y 2 − x 2 x 2y 2 ã = 2 (x + y) 4 1 x 3 − 1 y 3 + y − x x 2y 2 ã = 2 (x + y) 4 · y 3 − x 3 + xy(y − x) x 3y 3 = 2 (x + y) 4 · (y − x)(y 2 + 2yx + x 2) x 3y 3 = 2(y − x) (x + y) 2x 3y 3. Do đó, A + B + C = (y 2 + x 2)(y − x) x 4y 4 (x + y) 2 + 2(y − x) (x + y) 2x 3y 3 = (y 2 + x 2)(y − x) + 2xy(y − x) x 4y 4 (x + y) 2 = (y − x)(y 2 + x 2 + 2xy) x 4y 4 (x + y) 2 = y − x x 4y 4. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.