VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xét tính bị chặn của dãy số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Xét tính bị chặn của dãy số:
Để chứng minh dãy số (n) bị chặn trên bởi M, ta chứng minh cun • M, Vn thuộc N*. Để chứng minh dãy số (un) bị chặn dưới bởi m, ta chứng minh La > m, n c N*. Để chứng minh dãy số bị chặn ta chứng minh nó bị chặn trên và bị chặn dưới. Nếu dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới bởi ad1. Nếu dãy số (1) giảm thì bị chăn trên bởi t.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số (un) với n = 3n bị chặn trên bởi. Vậy dãy số đã cho bị chặn. Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi un = 3n + 5 là một dãy số bị chặn. Ta có up > 0, V3 > 1. Suy ra dãy số bị chặn dưới. Ví dụ 3. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn? a) Ta có m > 1 nên n > 2. Do đó dãy số đã cho bị chặn dưới bởi 2 và không bị chặn trên. b) Ta có 0 < n 0. Dãy (n) bị chặn trên bởi 0 và không bị chặn dưới. e) Dãy số không bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Ví dụ 4. Cho dãy số (1) xác định bởi 1 = 0 và 2 + 1, Vn >1. a) Chứng minh dãy (n) bị chặn trên bởi số 8. b) Chứng minh dãy (un) tăng, từ đó suy ra dãy (19) bị chặn. a) Ta chứng minh den 1. Khi m = 1, ta có t1 = 0 < 8. Giả sử n 1, tức là i < 8. Ta cần chứng minh 2k + 1 <8. Vậy n 1, hay (1m) bị chặn trên bởi 8. b) Với mọi n > 1, ta có 2n + 1 – 2n = 4 – cun. Mà cun 58 nên n + 1 – (n > 0. Suy ra đun là dãy số tăng. Do đó (n) bị chặn dưới bởi 11 = 0. Kết hợp với câu a, ta được dãy số (1) bị chặn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Trong các dãy SỐ (n) sau, dãy số nào bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn? a) Dãy số bị chặn dưới bởi 6, không bị chặn trên. b) Dãy (n) bị chặn dưới bởi 0. Vì n < 8 nên dãy số bị chặn trên. c) Ta có dung <1 nên dãy số bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi -1. d) Dãy số bị chặn dưới bởi 0. e) Ta có 0 < n <1 vậy dãy số bị chặn.