Xét tính bị chặn của dãy số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xét tính bị chặn của dãy số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Xét tính bị chặn của dãy số:
Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số. Phương pháp giải: Dãy số (un) được gọi bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho n u M n N. Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho n u m n N. Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu tồn tại một số M và m sao cho m u M n N. Chú ý: +) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu. +) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi 1 u còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi 1 u.
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 2 1 2 3 n n b) 7 5 5 7 n Lời giải: a) Viết lại n u dưới dạng: 5 1 5 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 n. Xét: 21 3 1 n n u n n. Nhận thấy 0 n u thì 2 3 1 2 4 1 n. Do đó: 1 2 1 n u. Vậy 2 1 n u bị chặn. b) Viết lại n u dưới dạng 7 24. Do đó 5 7 7 5 n u bị chặn. Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 1 2 3 n u b) n u n n.
Lời giải: a) Với 2 2 3 0 n u u. Xét 2 1 2. Do đó, suy ra: 1 2 1 5. Vậy 1 1 5 n n u bị chặn. b) Ta dễ dàng thấy: 0 n u do đó nó bị chặn dưới. Vì 1 2 2 n n u do đó nó bị chặn trên. Vậy ta được 1 0 2 n u do đó nó bị chặn. Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số u(n) cho bởi. Do (*) hiển nhiên đúng nên ta có dãy đã cho là dãy tăng, và bị chặn dưới bởi 1 bị chặn trên bởi 1. Vậy dãy đã cho bị chặn.