Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes:
Phương pháp giản: a) Bài toán xác suất điều kiện: Tìm hai trong ba xác suất P(AB), P(B), P(AB). Từ đó tìm được xác suất còn lại. b) Bài toán xác suất toàn phần: Xác định hệ biến cố đầy đủ Bộ, tính các biến cố P(A|BG), áp dụng công thức xác suất toàn phần.
Ví dụ 1. Nam thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0, 9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất để thành công thí nghiệm thứ hai là 0, 4. Tìm xác suất để: a) Cả hai thí nghiệm thành công. b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công. c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công. Gọi A, B lần lượt là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”. a) AB là biến cố “Cả hai thí nghiệm thành công”. Theo giả thiết ta có P(A) = 0, 7, P(BA) = 0, 9. P(AB) = P(A)P(BA) = 0,7 x 0,9 = 0, 63. b) A B là biến cố “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”. P(AB) = P(A) . P(BA) = 0, 3 x 0, 6 = 0, 18. c) AB là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công nhưng thí nghiệm thứ hai không thành công”. P(AB) = P(A)P . (BA) = 0,7 x 0,1 = 0, 07.
Ví dụ 2. Một công ti một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra. a) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng. b) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng. a) Gọi A là biến cố sản phầm thứ k không đạt chất lượng (k = 1, 2). Do sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng nên còn 49 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số 849 sản phẩm. b) Do A và A, là hệ biến cố đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Gieo liên tiếp một con súc sắc. a) Tính xác suất để lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt “bốn”. b) Tính xác suất để trong k – 1 lần gieo trước đó, không có lần nào ra mặt “ba”. c) Tính xác suất để mặt “bốn” xuất hiện trước mặt “ba”. a) Gọi A, là biến có lần thứ gieo được mặt “bốn”. Khi đó A = A A A -1A, là biến cố lần thứ k là lần đầu tiên gieo được mặt “bốn”. b) Gọi B là biến cố k – 1 lần đầu không có lần nào ra mặt “ba”. c) Gọi C là biến cố mặt “bốn” xuất hiện trước mặt “ba”, C1, C2, C lần lượt là các biến cố “lần đầu ra mặt bốn”, “lần đầu ra mặt ba”, “lần đầu không ra cả mặt ba và bốn”.
Bài 2. Một gia đình có n người con. Tính xác suất để cả n người con là con trai biết rằng có ít nhất một người con là con trai. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là biến cố “cả 3 người con đều là con trai” và “có ít nhất một người con là con trai”. Bài 3. Từ một hộp có 100 quả cầu trắng và 50 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần thứ hai mới rút được là quả cầu trắng.