Xác định một véctơ, sự cùng phương và hướng của hai véctơ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Xác định một véctơ, sự cùng phương và hướng của hai véctơ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Xác định một véctơ, sự cùng phương và hướng của hai véctơ:
Dạng 01. XÁC ĐỊNH MỘT VÉCTƠ, SỰ CÙNG PHƯƠNG VÀ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ. Phương pháp giải Để xác định véctơ ta cần biết điểm đầu và điểm cuối của véctơ hoặc biết độ dài và hướng của chúng. Chẳng hạn với hai điểm A B phân biệt, ta có hai véctơ khác véctơ-không là AB và BA. Véctơ a là véctơ-không khi và chỉ khi a 0 hoặc a AA với A là điểm bất kì.
Bài 01. Cho 5 điểm phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. Lời giải Xét các điểm A B C D E phân biệt. Các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là: AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DE EA EB EC ED. Vậy có 20 véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho.
Bài 02. Hãy tính số các véctơ (khác) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau đây: ⓵ Hai điểm. ⓶ Ba điểm. ⓷ Bốn điểm. Lời giải ⓵ Hai điểm. Xét hai điểm A B phân biệt. Ta có AB BA. Vậy có 2 véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. ⓶ Ba điểm. Xét các điểm A B C phân biệt.
Các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là: AB AC BA BC CA CB. Vậy có 6 véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. ⓷ Bốn điểm. Xét các điểm A B C D phân biệt. Các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là: AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC. Vậy có 12 véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho.
Bài 03. Cho hình bình hành. Hãy chỉ ra các vectơ khác nhau và khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối một trong bốn điểm của hình hành. Trong các vectơ trên hãy chỉ ra: ⓵ Các cặp vectơ cùng phương. ⓶ Các cặp vectơ cùng phương nhưng ngược hướng. Lời giải Giả sử hình bình hành là ABCD. Có 12 vectơ khác nhau và khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối một trong bốn điểm của hình hành là AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC ⓵ Các cặp vectơ cùng phương. AB, BA, CD, DC. AD, DA, BC, CB. AC, CA. BD, DB.
⓶ Các cặp vectơ cùng phương nhưng ngược hướng. AB và BA; AB và CD, BA và DC, AD và DA, AD và CB, DA và BC, AC và CA. BD và DB. Bài 04. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau: ⓵ AB và AC cùng hướng, AB AC. ⓶ AB và AC ngược hướng. ⓷ AB và AC cùng hướng và AB AC. Lời giải ⓵ AB và AC cùng hướng AB AC. AB và AC cùng hướng điểm A nằm ngoài đoạn BC.
Do AB AC nên điểm C là điểm giữa của hai điểm A và B. ⓶ AB và AC ngược hướng. AB và AC ngược hướng nên điểm A là điểm giữa hai điểm B và C. ⓷ AB và AC cùng hướng và AB AC AB và AC cùng hướng và AB AC nên điểm B là điểm giữa của hai điểm A và C. Bài 05. Cho hai vectơ không cùng phương u và v. Có hay không có một vectơ cùng phương với hai vectơ đó? Lời giải Có chọn vectơ đó là vectơ 0 vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ.
Bài 06. Cho ba vectơ cùng phương u, v, w. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ trong ba vectơ đó cùng hướng. Lời giải Chú ý rằng hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Giả sử u và v không cùng hướng. Khi đó vì w cùng phương với u nên w cùng hướng hoặc ngược hướng với u. Nếu w cùng hướng với u thì bài toán được chứng minh. Nếu w ngược hướng với u thì v, w cùng ngược hướng với u nên hai vectơ v w cùng hướng nhau.
Bài 07. Các khẳng định sau đúng hay sai? ⓵ Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba thì cùng phương. ⓶ Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba khác 0 thì cùng phương. ⓷ Hai vecto cùng hướng với một vecto thứ ba thì cùng hướng. ⓸ Hai vecto cùng hướng với một vecto thứ ba khác 0 thì cùng hướng. ⓹ Hai vecto ngược hướng với một vecto khác 0 thì cùng hướng. ⓺ Điều kiện cần và đủ để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.
Lời giải ⓵ Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba thì cùng phương. Khẳng định sai trong trường hợp vecto thứ ba là vecto 0. ⓶ Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba khác 0 thì cùng phương. Khẳng định đúng. ⓷ Hai vecto cùng hướng với một vecto thứ ba thì cùng hướng. Khẳng định sai trong trường hợp vecto thứ ba là vecto 0.
Hai vecto cùng hướng với một vecto thứ ba khác 0 thì cùng hướng. Khẳng định đúng. ⓹ Hai vecto ngược hướng với một vecto khác 0 thì cùng hướng. Khẳng định đúng. ⓺ Điều kiện cần và đủ để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau. Khẳng định sai. Vì: điều kiện cần và đủ để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau và cùng hướng.