Xác định dãy số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xác định dãy số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Xác định dãy số:
Dạng 1. Xác định dãy số Ví dụ 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp? a) 1 1 u u n n b) 1 1 3 1 n n. Lời giải: a) 1 1 2 1 3 2 4 3 5 4. Từ đó ta có thể nhận thấy 2 1 n u n n. Ta chứng minh (*) bằng quy nạp. +) Với n 1 ta có 1 u 1, vậy (*) đúng. +) Giả sử (*) với n k tức là 2 1 k u k k. +) Ta cần chứng minh (*) với n k 1 tức là 1 1 0 k u k k.
Thật vậy 2 2 u k k đúng. Vậy 2 1 n u. b) 2 4 3 5 4 u u. Từ đó ta có thể nhận thấy 3 4 n u n (*). Ta chứng minh (*) bằng quy nạp. +) Với n 1 ta có 1 u 1 vậy (*) đúng với n 1. +) Giả sử (*) với n k tức là 3 4 k u k. +) Ta cần chứng minh (*) đúng với n k 1 tức là 1 3 1 4 k u k. Thật vậy 4 k k u u k k đúng. Vậy 3 4 n u n.
Ví dụ 2. Cho dãy số 1 2 1 u u u n. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp? Lời giải: Từ giả thiết ta có: 1 1 1 2 1 3 2 2 2 4 3 5 4 u u. Ta nhận thấy 8 n u n (*). Ta chứng minh (*) bằng quy nạp. +) Với n 1 ta có 1 u 3 vậy (*) đúng với n 1. +) Giả sử (*) đúng với n k tức là 8 k u k . +) Ta cần chứng minh (*) đúng với n k 1, tức là u k k k 1 1 8 9. Thật vậy 2 1 1 1 8 9 k k u u k k đúng. Vậy 8 n u n.
Ví dụ 3. Cho dãy số n u xác định bởi công thức 2 2 n n n a) Tính 2 3 4 u. b) Chứng minh rằng 3. Lời giải: a) Ta có: 3 5 3 5 3 5 n n n u. b) Ta chứng minh 3 u u n bằng quy nạp. +) Với n 1 ta có 4 1 u u đúng theo phần a. +) Giả sử (*) với n k tức là k k 3 u u. +) Ta cần chứng minh (*) với n k 1, tức cần chứng minh k k 4 1 u u. Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có 2 2 4 3 3 1 đúng. Vậy 3 n n u u n.