VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm:
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm Phương pháp giải: Cho hàm số y fxC. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm Ax f x C 0 0 là y f x x fx. Trong đó 0 x được gọi là hoành độ tiếp điểm: y fx 0 0 là tung độ tiếp điểm và k fx là hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm Ax y 0 0 được gọi là tiếp điểm. Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 yx C 3x tại: a) Điểm A(1;4). b) Điểm có hoành độ 0 x 1. c) Điểm có tung độ 0 y 14. d) Giao điểm của (C) với đường thẳng dy x 38.
Lời giải: a) Ta có: 2 fx f 3x 3 1 6. Do vậy phương trình tiếp tuyến tại A(1;4) là y x 6 1 4 6x 2 b) Với x x fx f x 00 0 1 46. Do vậy phương trình tiếp tuyến là yx x 6 1 46 2 c) Với 3 0 0 y xx x f 14 3 14 2 2 15. Do vậy phương trình tiếp tuyến là: yx x 15 2 14 15 16. d) Hoành độ giao điểm của (C) và d là 3 x x ⇔ 3x 3 8 2. Với xy f 2 14 2 15. Do đó phương trình tiếp tuyến là yx x 15 2 14 15 16. Ví dụ 2: Cho hàm số 2 2 1 x y C x. a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 0 y 3. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng dy x 2.
Lời giải: Ta có: 2 5 2 1 y x a) Ta có: 0 0 2 3 3 5x 5 1 1 5. Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y x 5 13 hay y x 5 8. b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 2 2 2 x x. Với 0 0 1 2 0 2 5 x yy suy ra phương trình tiếp tuyến là: 1 2 5 y x. Với x yy 0 0 0 2 0 5 suy ra phương trình tiếp tuyến là: y x 5 2. Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 yx x 4 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 là: Lời giải: Ta có 2 0 0 x y fx x f. Do vậy PTTT là: yx x (1 1). Chọn C. Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 1 x y C x tại giao điểm của (C) với trục tung là?
Lời giải: (C Oy A) (0;-1). Lại có 2 3 0 3 1 y y x. Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y x 3 1. Chọn A. Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx x 2 3 tại điểm có hoành độ x − 2 là: A. 3 3. Lời giải Với x y 2 1. Lại có 11 3 2 2 2 23 4 f x f x x. Do đó phương trình tiếp tuyến là: 3 31 2 1 4 42 yx x. Chọn B. Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 yx x 4 1 tại điểm 0 x thỏa mãn f x 0 4 là? Lời giải: Ta có: 2 fx x f x x 3 8 68. Giải fx x y f 4 2 7 2 4 0 0. Do đó phương trình tiếp tuyến là: yx x 4 27 41. Chọn D.
Ví dụ 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2 yx x 4 2 tại điểm 0 x 1 là: Lời giải: Ta có: 0 0 x y 1 1. Mặt khác 3 y x xy 4 8 14 Khi đó phương trình tiếp tuyến là: yx x 4 1 14 3. Chọn D. Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 2 1 x y C x tại giao điểm của (C) với trục hoành là: Lời giải: Ta có: (C Ox A) ∩ (2;0). Mặt khác 2 5 1 2 f x f x. Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;0) là: 1 2 5 y x. Chọn A. Ví dụ 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 yx xC 2 31 tại điểm có hoành độ x = 1 cắt đồ thị (C) tại điểm thứ 2 có hoành độ là?
Lời giải: Ta có: 2 x y fx x f. Phương trình tiếp tuyến là: yxd 3 1. Xét 3 1 2 3 13 1 x dC x x. Chọn B. Ví dụ 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 2 x y x tại điểm có tung độ bằng −3 là? Lời giải: Giải 2 1 2 2 21 36 x x. Lại có 2 5 1 5 f x f x. Phương trình tiếp tuyến là: yx x 5 1 35 2. Chọn D. Ví dụ 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 y x 2 tại thời điểm có hoành độ x = −1 cắt trục hoành tại điểm. Lời giải: Ta có: x yy 1 3 1 4. Do đó phương trình tiếp tuyến là: y x xd 4 13 4 1. Do đó 1 4 d Ox A. Chọn D.
Ví dụ 12: Cho hàm số 4 2 yx x C 231. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 là: Lời giải: Ta có x yf 1 0 1 8 6 2. Do đó phương trình tiếp tuyến là yxd 2 1. Do đó d xy 2 2 0 suy ra 2 0 5 d d. Chọn A. Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm Mxy (0 0) đến đường thẳng d ax by c 0 là: 0 0 2 2 ax by c d a b. Ví dụ 13: Cho hàm số 3 y x mx C. Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của (C) bằng 2 là?