Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách – Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n abc P 222 abc 0 – Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua Mxyz d (0 00) và vuông góc với vectơ chỉ phương của d. Khi đó ta có 0 00 0 Q d P ax x by y cz z n u a f bc – Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c. Thay a f bc vào phương trình này, giải ra được b mc hoặc b nc.
Chọn cho c = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập. Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng 2 2 0 0 xx x Ax Bxy Cy A B C t x t y. Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (α): 2 50 x yz (β): 4 2 3 0 x y. Lập (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3;1;1) đến (P) bằng 8 30?
Lời giải: Ta có trong đó n (1;2;-1) α n (4;-2;0) β (-2;-4;-10;-21;2;5) P ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x y zD 25 0. Lại có: 8 8 325 2 10 8 30 1 4 25 30 18 D D dAP D. Do đó (Px y z): 2 5 20 hoặc (Px y z): 2 5 18 0. Ví dụ 2: Lập phương trình (P) đi qua A(1;-1;0), B(2;-1;-1) sao cho khoảng cách từ M (−2;1;3) đến (P) bằng 2 3.
Lời giải: Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là P n abc 222 abc 0. Ta có: AB(1;0;-1) do (P) chứa AB nên 0 0 n ac ac P AB. Khi đó: (P a x b y az). Ta có: 323 2 1aba b dM P b a b b a a b. Với a b 2 chọn b a c P xy z ⇒ 2 2 1 0. Với a b −2 chọn b a c P xy z. Ví dụ 3: Lập phương trình (P) chứa 1 2 11 2 x yz d sao cho khoảng cách từ A(−3;1;1) đến (P) bằng?
Lời giải: Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là P n abc. Mặt phẳng (P) chứa d nên 0 20 2 P d n u ab c b ca ⇔ (P) đi qua điểm (P a x by c z). Với a c chọn ac b Pxyz. Với 19 55 a c chọn a c b Pxyz. Ví dụ 4: Cho 2 1 1 31 xyz. Lập (Q) // ∆ (Q P) đồng thời khoảng cách từ A(1;2;0) đến (P) bằng 7 30.
Lời giải: Ta có: (2;1;-1) P n u∆ (1;3;-1). Do (Q) // ∆ và (Q P) 2 1 5 Q P n nu∆. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 25 0 xy zD. Lại có: 30 4 1 25 30 11 D D dAP D. Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) là: (Q xy z): 2 5 3 0 hoặc (Q xy z): 2 5 11 0. Ví dụ 5: Lập phương trình (P) đi qua A(−1;2;1), vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ điểm B(1;1;-3) đến (P) bằng?
Lời giải: Giả sự mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là P n abc 222 abc 0. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (xOyz) 0 nên 00 P xOy nn c ⇔ (P) đi qua điểm A(−1;2;1) ⇒ (P ax by) 1 20 a b a b. Với a b 2 chọn b a P xy ⇒ 1 2 2 0. Với 11 2 a b chọn a b Px y 2 11 2 11 24 0. Ví dụ 6: Cho 2 12 x t dy t z t và các điểm A(1;1;2), B(3;1;-1).
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng hai lần khoảng cách từ B tới (P) Lời giải Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là P n abc 222 abc. Mặt phẳng (P) chứa d nên 0 2 0 2 P d n u a bc c a b. (P) đi qua điểm M (2;1;0) ⇒ (P a x b y cz ) 2 1 0 . Lại có: a c ac dAP dB P ac ac. Với a = 0 chọn b c Py z. Với 3 4 a c chọn 1 17 4 3 4 3 0 2 22 y a c b Px z hay (P xy z) 8 6 17 0.
Ví dụ 7: Cho 1 1 2 12 xy z d và các điểm A(1;2;2), B(4;3;0). Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách từ B tới (P). Lời giải: Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là P n abc 222 abc 0. Mặt phẳng (P) chứa d nên 02 2022 P d n u ab c c ab (P) đi qua điểm M (1;-1;0) ⇒ (P a x b y cz) 1 1 0. Lại có: bc ab dAP dB P bc ab. Với a b 2 chọn 5 1 2. Với 5 6 a b chọn 17 6 5.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;1;0) và hai đường thẳng 1 1 31 xyz d xyz d. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 d và 2 d đồng thời cách M một khoảng bằng 6. Lời giải Vì 1 2 P dd nên (P) có cặp VTCP là? Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x yzD 2 0. Lại có: D D P x yz dM P D P x yz. Lấy 1 K d 1 3 1 và 2 N d 1 3 2 thử vào các phương trình (1) và (2) ta có N P nên d P 2 1. Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: (P x yz 2) 2 90.