Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp: (P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến P n AB AC (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho P Q n n (P) vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt α β thì P P P n n α α β β (P) song song với hai véc tơ a b thì P P P n a n ab n b.
(P) đi qua điểm A B và vuông góc với (α) thì P P n AB n AB n α α (P) song song với hai đường thẳng 1 2 d d thì 1 1 2 2 P d n u (P) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (α) thì P d n un α (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng ∆ thì P d n u ∆.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng 123 3 21 xy z ∆. Lời giải Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm ta có: (P nu) ⊥ ∆ ⇒ P ∆ (3;-2;1). Phương trình mặt phẳng (P) qua M (3;-1;1) và có VTPT n(3;2;-1) là? Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;-2); B(−1;2;4) và C(2;0;1). Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là? Lời giải Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm thì n BC P (3;-2;-3). Mặt phẳng (P) qua A(1;0;-2) và có VTPT (3;-2;-3) 2 3 9 0 P n Pxyz. Chọn C. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M M (3;-1;-2) và mặt phẳng (α): 3 2 4 0 xy z. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (α)?
Lời giải: Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm ta có: (P nn) P (3;-1;2) α. Mặt phẳng (P) qua M (3; 1; 2) và có VTPT là (P) n (3;-1;2) có phương trình là: 3 2 60 xy z. Chọn A. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 2 22 Sx y z x y z 6 4 2 50 và đường thẳng 2 31 11 5 xyz d. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu (S).
Lời giải: Ta có: 2 22 Sx y z S 3 2 19 ⇒ có tâm I (3;-2;1) và bán kính R = 3 VTCP của d là u = (1;1;-5). Mặt phẳng (P) qua I và nhận u làm VTPT. Phương trình (P) là (P): 0 x z y hay (P): xyz54. Chọn C. Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng 1 2 2 x t xy z d y td và mặt phẳng (P xyz) 2 2 3 0. Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của 1 d và (P), đồng thời vuông góc với 2 d là?
Lời giải: Gọi giao điểm của 1 d và (P) là 1 Mttd 1 3 2. Do MP t t t M ⇒ 2 6 4 2 6 0 1 (4;-1;2). Mặt phẳng (Q) cần tìm có: 2 2 1 2 Q d n u. Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là: 2 2 13 0 xy z. Chọn C. Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng qua A(1;0;-4) và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng (Pxyz): 20 và (Q xy z) 2 4 2 0 là?
Lời giải: Ta có: Do P P Q Q αα. Khi đó (α) qua A(1;0;-4) và có VTPT : 2 30 1 x yz. Chọn D. Ví dụ 7: Phương trình mặt phẳng qua A(1;2;0) vuông góc với (Pxy) 0 và song song với đường thẳng 1 1 2 43 x yz d là? Lời giải: Ta có d P n u. Do P P d d α α. Khi đó (α) qua A(1;2;0) và có VTPT (1;-1;−1) xy z 2 10. Chọn B.
Ví dụ 8: Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng 1 1 xy z d và 2 1 1 31 3 x yz d là? Lời giải: Ta có: 1 2. Do 1 1 1 2 d n u n uu α α. Khi đó(α) qua O(0;0;0) và có VTPT(1;-3;2) ⇒ (α): 3 2 0 xyz. Chọn B.