Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau Phương pháp giải Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2. Ta thực hiện như sau: Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t và u Tham số hóa 2 điểm A d 1 và B d 2 theo 2 ẩn t và u. Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên 1 1 2 2 d d u u AB u t d d u u AB u u. Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Ví dụ 1 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết 1 x1t d y 0 z 5t và 2 x 0 y 4 2u z 5 3u. Lời giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là 1 ud (1;0;1) và 2 ud (0;-2;3). Gọi A(1 – t;0;5 – t) d 1 và B(0;4 – 2u;5 + 3u) d 2 suy ra AB(-1 + t;4 – 2u;10 + 3u – t). Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên 1 1 2 2 d d u u AB u . Phương trình đường thẳng AB là: x4 y z2 d 2 32.
Ví dụ 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng 1 x 2 y1 z2 d 2 11 và 2 x y4 z1 d 111. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là: Lời giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là 1 ud (2;-1;1) và 2 ud (1;-1;1). Gọi M(2 + 2t;1 – t;2 + t) d N(u;4 + u;1 – u) d MN (u + 2t – 2;3 + u – t; 1 + u – t 1 2). Khi đó 1 0 2 2 3 10 0 M N MN u u t ut ut t. Suy ra x 2 MN(0;1;1) MN y 1 t z2t. Chọn C.
Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng 1 x1 y2 z1 d 211 và 2 x 2 y1 z 2 d 41 1. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 đi qua điểm nào trong các điểm sau? Lời giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là 1 ud (2;1;1) và 2 ud (-4;1;-1). Gọi M(-1 + 2t;-2 + t;1 – t) d N(-2 + 4u;1 + u;-2 – u) d 1 2 ⇒ MN (-4u + 2t + 1;u – t + 3;-u – t + 3). Khi đó 1 16 8 4 3 3 0 1 MN u u t ut ut t N. Suy ra x1t MN(1;1;-3) MN y 1 t A(3;1;-4) MN z 2 3t. Chọn A.