Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách:
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách Phương pháp giải Giả sử đường thẳng cần lập có một véc tơ chỉ phương là 22 2 ud (a;b;c) a 0 b c. Đường thẳng d song song với (P) hoặc vuông góc với ∆. Khi đó ta có (P) 0 d d u n Fabc a f bc u u∆. Từ các dữ liệu về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c. Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c. Chọn c = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập. Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng 2 2 0 x Ax Bxy Cy A B C t x t y yb y.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-9;0;0) nằm trong mặt phẳng (P): x 2y 2z 9 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình 222 (S): x y z 4x 2y 4 0. Lời giải: Đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương 22 ud (a;b;c) (a khác 0) b c. Mặt cầu 222 (S) : x y z 4x 2y 4 0 có tâm I(2;-1;0) R 3. Do ∆ P u n a b c a c b u c bbc ∆ ∆ P. Ta có AI = (11;-1;0) và AI u c c. Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): 22 2 AI u c c bc d I R u cb bc 81b 36bc 126c 9(5b 8bc 5c) 9c 12bc 4b 0 (3c 2b) 0 3c 2b 0 b 3 c 2. Suy ra u (10;3;-2) phương trình đường thẳng ∆ là x9 y z 10 3 2.
Ví dụ 2 : Cho hai đường thẳng x 2 3t d y 3 t z 4 2t và x4 y1 z d 3 12. Phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’ đồng thời cách đều hai đường thẳng đó là? Lời giải Dễ thấy d // d’ đường thẳng ∆ cần tìm cách đều d và d’ nên ∆ // d ⇒ u∆ (3;1;-2). Đường thẳng d đi qua điểm A(2;-3;4) đường thẳng d’ qua điểm B(4;-1;0). Trung điểm của AB là: I(3;-2;2). Khi đó ∆ qua I(3;-2;2) và có VTCP : u∆ (3;1;-2) nên x3 y2 z2 31 2. Chọn A.
Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu 2 22 (S) (x 1) (y 1) z 9 và điểm A(1;0;-2). Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc α sao cho 1 cos 3 10 α là: Lời giải: Gọi 22 2 u∆ (a;b;c) (a 0) b c là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Mặt cầu (S) có tâm I(-1;1;0). Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nên. Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox một góc α với 1 cos 3 10 α nên 2 22 b ac abc (2).
Từ (1) và (2) ta có phương trình 2 2 85 8 5 0 a ac c (3). Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn) Với c ≠ 0 ta có (3) 2 1 5 8 50 5 aa a cc c hoặc 5 17 a c. Với 1 5 a c ta chọn ac b 1 5 8. Suy ra phương trình x1 y z2 1 85. Với 5 17 c ta chọn ac b 5 17 44. Suy ra phương trình x1 y z2: 5 44 17 ∆. Chọn A. Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu 2 22 (S) : (x 1) (y 2) z 9 và điểm M(2;0;-2). Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng (P) : x y 3 0 một góc 30 là?
Lời giải: Gọi 22 2 ud (a;b;c)(a 0) b c là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;0). Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên: Ta có: d IM (1;2;-2) u a 2b 2c 0 a 2c 2b. Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc 30 nên: Ta có: 2 1 sin 30 2 25 5 8 2 d P. Với b = c chọn bc a 1 0 ta có: x 2 d y t z 2t. Với b c chọn b ca 1 1 4ta có: x 2 4u d y u z 2u. Chọn A.
Ví dụ 5 : Trong không gian tọa độ cho mặt cầu 2 22 x y z 4x 2y 6z 12 0 và đường thẳng (d) : x 5 2t y 4 z 7 t. Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(5;0;1) và ∆ tạo với d góc ϕ sao cho 1 cos 7 ϕ là? Lời giải: Ta có 222 (S) (x 2) (y 1) (z 3) 26 (S) ⇒ có tâm I(2;-1;-3) và bán kính R 26 1 IM (3;1;4) u (2;0;1) là 1 VTCP của d. Giả sử u2 = (a;b;c) là 1 VTCP của đường thẳng ∆ 22 2 (a 0) b c.
Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M 2 ⇒ IM u 3a b 4c 0 b 3a 4c (1). Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng ϕ 1 2 cos u u cos (2). Thay (1) và (2) ta được 2 2 2 7 2 5 (3 4) ac a a c c. Với a c 3 do 22 2 a 00 bc c. Chọn 5 3 x t c ab y t. Với 13 11 a c chọn 5 3 1 11 x t c a b yt z t. Chọn C.