Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến:
Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến. Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến là a và b tức là d d u a u b thì d u a b. Một số các trường hợp thường gặp: Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng ∆1 và ∆2, suy ra d u u 1 2. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và (Q), suy ra d PQ u n n. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với thường thẳng ∆, suy ra d P u n u∆.
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (Q), suy ra d PQ u n. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆, suy ra d P u n u∆. Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x1 y1 z3 d 213 và mặt phẳng (P): x yz10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.
Lời giải: Do (P) (P) d d (P) u n (2;5;-3) d u u. Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là x1 y1 z 2 25 3. Ví dụ 2: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho (P): x y z 1 0 (Q) x y z 2 0 và điểm A(1;-2;3). Phương trình nào đưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P) và (Q)? Lời giải: Đường thẳng cần tìm song song với (P) và (Q) nên d (p) (Q) u n n 2 (1;0;-1).
Do đó d: x 1t y 2 z 3t. Chọn A. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-1;0;2) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x 3y 6z 4 0 và (Q): z y 2z 4 0. Lời giải: Ta có P P Q Q n. Đường thẳng d qua A(-1;0;2) và nhận P Q n (0;10;5) là một VTCP. Chọn D.
Ví dụ 4: Cho mặt phẳng (P) : 4x y z 1 0 và đường thẳng x1 y1 z d 2 21. Phương trình đường thẳng qua A(1;2;3) song song với (P) đồng thời vuông góc với d là? Lời giải Ta có: d (p) u (2;-2;1) n (4;-1;-1). Suy ra d P u u n (3;6;6) 3(1;2;2) ∆. Do vậy x1 y2 z3 122 ∆. Chọn B. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua ∆ trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Giả sử G(x;y;z) G GG. Khi đó: G y 2 G(1;2;2) 3 213 z 2. Ta có: AB (0;-1;-1); AC (0;-2;1) u AB AC (-3;0;0) 3(1;0;0) ∆. Đường thẳng qua G và nhận u∆ là vtcp x 1 3t y 2 z 2. Chọn D. Ví dụ 6: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (-1;1;3) và hai đường thẳng x1 y3 z1 x1 y z. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với ∆ và ∆’?
Lời giải: Các vtcp của ∆ và ∆’ lần lượt là: 1 2 u (3;2;1) u (1;3; 2) vtcp của đường thẳng cần tìm là: 1 2 u u. Chọn D. Ví dụ 7: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;-2;3) và hai mặt phẳng (P): x y z 1 0 (Q) x y z 2 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P), (Q)? Lời giải: Các vtpt của (P) và (Q) là : 1 2 n vtcp của đường thẳng cần tìm là?
Chọn D. Ví dụ 8: Cho 2 đường thẳng 1 x y1 z1 d 21 1 và 2 x1 y z2 d 441. Phương trình đường thẳng đi qua A(−2;3;0) và vuông góc với cả 1 d và 2 d? Lời giải: Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có: 1 2 d d 1. Khi đó 1 2 d d x2 y3 z u u u (3;-6;12) (1;-2;4) d 1 24 . Chọn D.