Ứng dụng tính liên tục của hàm số trong giải phương trình

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Ứng dụng tính liên tục của hàm số trong giải phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Ứng dụng tính liên tục của hàm số trong giải phương trình:
Dạng 3. Ứng dụng tính liên tục của hàm số trong giải phương trình Biến đổi phương trình về dạng: f x 0 Tìm hai số a b sao cho f a f b 0 (Dùng chức nắng TABLE của máy tính (Mode 7) tìm cho nhanh) Chứng minh f x liên tục trên a b từ đó suy ra f x 0 có nghiệm. Chú ý : – Nếu f a f b 0 thì phương trình có nghiệm thuộc a b. – Để chứng minh f x 0 có ít nhất n nghiệm trên a b ta chia đoạn a b thành n khoảng nhỏ rời nhau, rồi chứng minh trên mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3 x x 3 1 0 b) 3 2 6 1 3 x x. Lời giải: a Dễ thấy hàm 3 f x x 3 1 liên tục trên R. Ta có: 1 3 f tồn tại một số a f a 1 1 2 1 tồn tại một số a f a 2 2 0 1 0 2 tồn tại một số a f a 3 3 12 0 3. Do ba khoảng 2 1 01 và 1 2 đôi một không giao nhau nên phương trình 3 x x 3 1 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên 3 x x 3 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
b Đặt 3 3 3 1 1 2 6 1 0 x t x t t t. Xét hàm số 3 f t t 2 6 1 liên tục trên R. Ta có: 2 1 3 5 0 f f tồn tại 3 số 1 2 t t và 3 t lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là 2 1 0 1 và 1 2 sao cho f t f t 1 2 3 0 và do đây là phương trình bậc 3 nên f t 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi giá trị 1 2 t và 3 t ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn 3 x t 1 và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 5 x x 3 3 0 b) 4 3 2 x x. Lời giải: a Xét 5 f x x x 3 3 lim x f x tồn tại một số 1 x 0 sao cho f x 1 0 lim x f x tồn tại một số 2 x 0 sao cho f x 0. Từ đó f x f x 1 2 luôn tồn tại một số x f x 0 2 1 0 0 nên phương trình 5 x x 3 3 0 luôn có nghiệm. b Xét 4 3 2 f x 3 1 liên tục trên R.
Ta có: f 1 3 0 lim x f x tồn tại một số a 0 sao cho f a 0 x 3 0 nên luôn tồn tại một số x a 0 0 thỏa mãn f x 0 0 nên phương trình 4 3 2 x x 3 1 0 luôn có nghiệm. Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a) 3 2 2 1 1 3 0 m x b) cos cos 2 0 x m x c) m x x 2cos 2 2sin 5 1. Lời giải: a Xét 1 1 m m. Phương trình có dạng 2 x x 3 0 nên PT có nghiệm.
Ví dụ 5. Cho các phương trình sau 4 3 x x 5 3 x x 7 4 x x 4 0. Số phương trình có nghiệm là? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải: Hàm số 4 3 f x x 3 liên tục trên nên liên tục trên 0 2. Mà f f x 0 2 0 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 0 2. Hàm số 5 3 g x x 16 20 liên tục trên nên liên tục trên 3 5. Mà f f x 3 5 0 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 3 5. Hàm số 7 4 h x x 4 liên tục trên nên liên tục trên 0 2 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng. Như vậy cả ba phương trình đã cho đều có nghiệm. Chọn D.