VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn giải bài toán tối ưu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn giải bài toán tối ưu:
Bài toán tối ưu. Phương pháp. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T(x, y) = ax + by với (x; y) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (x; y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bước 3: Kết luận: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y = x trên miền xác định bởi hệ 2y − x24 là x + y.
Miền nghiệm của hệ 2y − x24 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên. Ta thấy F = y = x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C. Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất F của biểu thức F(x) = 4x + 3y trên miền xác định bởi hệ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng. Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là A7. Ví dụ 3: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; Để pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.
Giả sử x, y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế. Suy ra 30x + 10y là số gam đường cần dùng; x + y là số lít nước cần dùng: x + 4y là số gam hương liệu cần dùng. Theo giả thiết ta có 30x + 10y < 210. Số điểm thưởng nhận được sẽ là P = 60x + 80y. Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x, y thỏa mãn (*). Ví dụ 4: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?