Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Ta có 2 1 1 1 1 1 u S u u q u q q với q 1. Ví dụ 1. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0,7777777777777… b) 0, 27777777777… Lời giải: a) 2 3 1 1 1 10 10 10 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 1 10 nên 2 3 10 10 10 9 1. Suy ra 2 3 1 1 1 7 0,7777777777777… 7.0,11111111111… 7 … 10 10 10 9 b) 2 3 4 1 1 1 10 10 10 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 1 10 nên 2 3 4 1 1 1 1 1 100 … . 10 10 10 90 1 1 10. Suy ra 2 1 25 5 0, 27777777777… 0, 2 0,07777777 7 10 90 90 18.
Ví dụ 2. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0,3211111… b) 0,313131… c) 3,1525252…. Lời giải a) Ta có 3 4 5 1 1 1 … 10 10 10 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 1 10 nên 3 3 4 5 1 1 1 1 1 10 … 10 10 10 900 1 1 10 suy ra 32 1 289 0,321111… 100 900 900. b) Ta có 2 4 6 1 1 1 … 10 10 10 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 2 1 10 nên 2 2 4 6 2 1 1 1 1 1 10 … 10 10 10 99 1 1 10 suy ra 2 4 6 1 1 1 1 31 0,313131… 31 … 31. c) Ta có 3 5 7 1 1 1 … 10 10 10 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 2 1 10 nên 3 3 5 7 2 1 1 1 1 1 10.
Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là 12 5 và tổng của cấp số nhân lùi này bằng 15. Lời giải Ta có 1 1 2 1 12 5 15 25 25 4 0 1 1 1 5 1 4 q u u q +) Nếu 2 1 1 12 5 u q u q +) Nếu 2 1 4 3 5 u q u q Ví dụ 4. Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng 3 4 số hạng đầu là một số dương. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi này.
Lời giải Ta có 1 1 12 1 1 u S u q q và 1 2 1 u u u q. Suy ra 2 3 3 4 12 1 q. Ta chỉ chọn 3 4 q vì q 1 khi đó 1 3 12 1 3 4 u. Ví dụ 5* a) Chứng minh: 1 N. b) Rút gọn 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n u c) Tìm lim n u. Lời giải: Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có: 1 2 2 3 1 1 1 n n u u. Ví dụ 6*. Cho dãy số u(n) được xác định bởi: 1 2 n n n u u n.